Теория множеств, математическая логика.

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post
Задание множества это и есть его описание и доказательство существования. Именно так и описываются пересечения бесконечных множеств. А ваш тезис каков? Что у них нет пересечения если его нельзя конструктивно указать? Сформулируйте свою позицию по данному вопросу пожалуйста.
И тем не менее вы пользуетесь термином континуум и понимаете его безошибочно. А книжек вы конечных прочитали конечное число. Можно предположить что упомянутая вами теорема вами неправильно применяется в данном контексте?

Со счетными (бесконечными) множествами проблем нет. Проблемы возникают со множествами мощности С. Для их формализации требуется система аксиом мощности континум. Я не понимаю что это за зверь

Как раз эта теорема и роказывает, что мы не понимаем, что такое "континум". Хотя и оперирует этим словом. Точно так же как мы можем оперировать понятием "множество всех множеств" хотя оно сразу приводит к противоречию.

Source of the post
Повторяю - любое конечное число знаков Тета может быть записано рекурсивным алгоритмом как и всякое конечное число. Согласны с этим утверждением? Вопрос - чем это отличается от вычисления числа Пи?

Любое конечное число знаков не есть число Тэта. А для числа Пи сущнствует алгоритм его построения с точность до любого знака. Для построения числа Тэта вообще нет НИКАКОГО способа.

Source of the post
Жаль что дискуссию вы ведете сами с собой) Однако упомянутая вами теорема говорит о языках первого порядка, коим математика не является. А вот это ваше позвольте узнать как доказывается?

Однако упомянутая вами теорема говорит о языках первого порядка, коим математика не является.

Но языка первого уровня достаточно для описания действительных чисел.

А вот это ваше позвольте узнать как доказывается?

См. Клини, Математическая логика.

[folk]

Source of the post
Со счетными (бесконечными) множествами проблем нет. Проблемы возникают со множествами мощности С. Для их формализации требуется система аксиом мощности континум. Я не понимаю что это за зверь

Это не так. Во первых математика формализована в достаточной степени и работает с множествами мощности континуум, при этом хватает конечного количества аксиом. Согласно теоремам о неполноте при этом остаются утверждения которые нельзя ни доказать ни опровергнуть. И в этом нет настолько большой беды чтобы кому то пришлось добавлять аксиому хоть одну. Попытка сделать все утверждения доказуемыми или опровергаемыми приводит к распуханию аксиоматики - но это не требуется в обычной математике. Аналогичная проблема и в том достаточно ли возможности задать любое наперед заданное конечное число знаков - вы считаете что недостаточно, но в жизни это единственный способ хоть что то посчитать.
ИМХО вы попросту неверно интерпретируете теоремы. Точнее интерпретируете как вам это удобно.
Клини я читал давно, всего не помню..

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post
Это не так. Во первых математика формализована в достаточной степени и работает с множествами мощности континуум, при этом хватает конечного количества аксиом. Согласно теоремам о неполноте при этом остаются утверждения которые нельзя ни доказать ни опровергнуть. И в этом нет настолько большой беды чтобы кому то пришлось добавлять аксиому хоть одну. Попытка сделать все утверждения доказуемыми или опровергаемыми приводит к распуханию аксиоматики - но это не требуется в обычной математике. Аналогичная проблема и в том достаточно ли возможности задать любое наперед заданное конечное число знаков - вы считаете что недостаточно, но в жизни это единственный способ хоть что то посчитать.
ИМХО вы попросту неверно интерпретируете теоремы. Точнее интерпретируете как вам это удобно.
Клини я читал давно, всего не помню..

1. При формализации математики зачастую используют схемы аксиом, которые выражаются в естественном языке и не являются формализованными. В формальной системе первого уровня схеме аксиом обычно соответствует счетное число аксиом.

2. Теорема Геделя о неполноте это порождение той же самой проблемы: если посмотреть на теорему Гёделя о полноте, то видно, что "неполнота" возникает от добавления аксиом Пеано. (Которых континум). Кстати, если к аксиоматике добавить любое утверждение, которое нельзя доказать или опровергнуть, в качестве аксиомы, то система не изменится. Таких утверждений более чем счетное число.

"Аналогичная проблема и в том достаточно ли возможности задать любое наперед заданное конечное число знаков .... , но в жизни это единственный способ хоть что то посчитать."

Полностью согласна! А "континум" - это сон разума, рождающий чудовищ Любые практические результаты можно получить конструктивно

[folk]

кажется наметилось взаимопонимание)

Source of the post
1. При формализации математики зачастую используют схемы аксиом, которые выражаются в естественном языке и не являются формализованными. В формальной системе первого уровня схеме аксиом обычно соответствует счетное число аксиом.

Если вам интересно почитайте про например Mizar project - это один из серии проектов по формализации математики. Стандартные аксиомы + схемы аксиом де факто предикаты второго порядка. При доказательстве теоремы инстанциируется требуемое утверждение первого порядка. Все строго формализовано. Математика не язык первого порядка - и это также формализуемо и формализовано. И с учетом этого аксиом не требуется бесконечного количества.
Когда мы говорим что 2x=x+x мы считаем это одним утверждением а не счетным множеством {0=0+0, 2=1+1 ...} - по крайней мере мне так привычней.

2. Теорема Геделя о неполноте это порождение той же самой проблемы: если посмотреть на теорему Гёделя о полноте, то видно, что "неполнота" возникает от добавления аксиом Пеано. (Которых континум).

Не спец так что ИМХО: Теоремы о неполноте возникают и в формальных системах без арифметики как мне казалось. По моему система предикатов высшего порядка уже не имеет алгоритмов доказательства теорем и как результат можно говорить о непроверяемости утверждений во всех моделях. Так что причин неполноты может быть много - например слишком большой набор множеств. Я еще подумаю, но по моему причина глубже чем количество аксиом.

Кстати, коль вы глубоко интересуетесь такими вопросами почитайте и про теоремы Геделя о полноте.

Кстати, если к аксиоматике добавить любое утверждение, которое нельзя доказать или опровергнуть, в качестве аксиомы, то система не изменится. Таких утверждений более чем счетное число.

Да, это быстрый способ построения прикладной теории - использовался активно в HOL теориях и предшественниках (LCF). Когда полностью формализовать не умеем, берем формализованное ядро и добавляем как аксиомы основные положения раздела математики в котором будем работать.
Эта метода работает но ИМХО это хак - Mizar на мой взгляд лучший проект на данный момент. (Правда последние несколько лет не следил за этой областью - могло что то новое появиться)
Есть еще всякие Izabelle и прочая - но это уже больше для прикладников - наваять решатель по бырому, хотя академически это конструктивистские подходы изначально..

Любые практические результаты можно получить конструктивно

Есть тонкие различия таки - но в целом наверное да. Кстати это легкий для программирования путь - в интуиционистской логике модель чекеры более эффективно работают, но с философской и математической точки зрения - мне по душе классический подход - больше сооответствует интуиции и теории множеств на мой взгляд)

Кстати почитал про теорему Левингема-Скулема и не увидел чего то особенно страшного. Можно если будет настроение показать чем эта теорема ограничивает континуум? По сути это ведь теорема существования, да и к тому же некой специфической модели.

UPD: Для тех кому интересно: Описание HOL88 содержит формализацию их логики - строится модель в рамках теории множеств.

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post

Кстати почитал про теорему Левингема-Скулема и не увидел чего то особенно страшного. Можно если будет настроение показать чем эта теорема ограничивает континуум? По сути это ведь теорема существования, да и к тому же некой специфической модели.

UPD: Для тех кому интересно: Описание HOL88 содержит формализацию их логики - строится модель в рамках теории множеств.

Хорошо, что точки зрения сближаются
1. Про Mizar: спасибо, посмотрю.
2. Под условия теоремы Лёвингейма-Скулема попадает аксиоматика действительных чисел и, следовательно, существует счетная модель этих чисел.
3. Но вопрос, поставленный вначале остается. Его можно даже упростить: в стандартном описании действительных чисел поредполагается, что числа с 0,9999... совпадают с 1,0000... , можно показать, что существует рекурсивная функция выдающая 0,9999..., которая является верифицируемой (можно проверить для любого N), но недоказуемой (нельзя доказать для любого N). Как их склеить?

[folk]

Source of the post
2. Под условия теоремы Лёвингейма-Скулема попадает аксиоматика действительных чисел и, следовательно, существует счетная модель этих чисел.

ИМХО: Судя по идее доказательства Л-С для предикатов теории находится по набору переменных (одному) на котором это предикат истинный (по аксиоме выбора небось). Но в аксиоматике действительных чисел предикатов и так счетное количество - предметная область просто богаче языка - и в этом смысле счетная модель это просто свойство языка а не предметной области.
То есть утверждение которое вы привели говорит не о континууме а о способах его описания. Что из всех многих (континуума) способов описания можно выбрать эквивалентный со счетным количеством переменных.
По-скольку не особо в этом разбираюсь могу быть тыщу раз не прав - надеюсь математики поправят)

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post

Source of the post
2. Под условия теоремы Лёвингейма-Скулема попадает аксиоматика действительных чисел и, следовательно, существует счетная модель этих чисел.

ИМХО: Судя по идее доказательства Л-С для предикатов теории находится по набору переменных (одному) на котором это предикат истинный (по аксиоме выбора небось). Но в аксиоматике действительных чисел предикатов и так счетное количество - предметная область просто богаче языка - и в этом смысле счетная модель это просто свойство языка а не предметной области.
То есть утверждение которое вы привели говорит не о континууме а о способах его описания. Что из всех многих (континуума) способов описания можно выбрать эквивалентный со счетным количеством переменных.
По-скольку не особо в этом разбираюсь могу быть тыщу раз не прав - надеюсь математики поправят)

Теорема Л-С доказывается, конечно, неконструктивными методами, но относттся к полностью формализованным теориям (где 2x=x+x это { 2*0=0+0 и т.д. } и там, действительно, вещественных чисел счетное число. Математики говорят, что это противоречие мнимое, поскольку само пересчитывающее множество не принадлежит данной модели. ( См. Wiki "Пародокс Скулема") ИМХО, идет апелляция к алгоритмам с континуумом шагов. Именно с этим и связан вопрос вначале.

[guryev]

Source of the post
А Вы можете указать вещественное число, для которого не существует алгоритма вычисления любого знака в его десятичной записи?

Такие каверзные числа существуют.

Например:
Определим вспомогательное число следующим образом:
1. Целая часть равна нулю.
2. Для вычисления -го знака после запятой, проверим число на совершенство. Если оно совершенно, поставим в -м знаке 1, в противном случае 0.

Итак, алгоритм вычисления любого знака числа известен, поскольку про любое натуральное число можно сказать, совершенно ли оно. Теперь попробуем вычислить . Если нечётные совершенные числа существуют, то первый знак (целая часть) равен нулю. Если не существуют, то 1. Но никто не знает, существуют ли совершенные нечётные числа. С остальными знаками - та же проблема, они либо 0, либо сколько-то из них 9, и т.д. Следовательно, не существует алгоритма вычисления даже одного знака .

Пример не мой -

его выкладывал участник под ником Epros на форуме сайта relativity.ru .

[IgorS]

Source of the post
Такие каверзные числа существуют.
Итак, алгоритм вычисления любого знака числа известен, поскольку про любое натуральное число можно сказать, совершенно ли оно. Теперь попробуем вычислить . Если нечётные совершенные числа существуют, то первый знак (целая часть) равен нулю. Если не существуют, то 1. Но никто не знает, существуют ли совершенные нечётные числа. С остальными знаками - та же проблема, они либо 0, либо сколько-то из них 9, и т.д. Следовательно, не существует алгоритма вычисления даже одного знака .

Участник под ником Epros не прав, и Вы некритично отнеслись к его рассуждениям. Алгоритм вычисления такого числа следующий:
.

[guryev]

Source of the post
Участник под ником Epros не прав, и Вы некритично отнеслись к его рассуждениям. Алгоритм вычисления такого числа следующий:
.

Хорошо, посчитайте, пожалуйста, целую часть числа с помощью этого алгоритма.