Теория множеств, математическая логика.

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post

Объясните тогда пожалуйста, как такое может быть?

Рекурсивных функций счетное число, в то время как считается что действительных чисел континум. Поэтому практически ни одно вещественное число не может быть записано

[folk]

Source of the post
Рекурсивных функций счетное число, в то время как считается что действительных чисел континум. Поэтому практически ни одно вещественное число не может быть записано

Для предъявления множества не нужно строить его элементы. Вы неявно предполагаете какие то странные вещи про лексикографический порядок. Он задается без всяких рекурсивных функций и через него дается определение вещественного числа. Иррациональные это будет дополнение к рациональным. Вуаля.

[ALEX165]

Source of the post

Source of the post

Объясните тогда пожалуйста, как такое может быть?

Рекурсивных функций счетное число, в то время как считается что действительных чисел континум. Поэтому практически ни одно вещественное число не может быть записано

Это совсем другой вопрос, мы же говорим о конкретном одном (двух) числе:

Source of the post
Когда десятичная запись не задается никакой рекурсивной функцией, неясно как сравнить две последовательности для которых принципиально не существует алгоритма записи. Или как сложить два "невыразимых" числа.

[a89653841042a@yandex.ru]

[quote name='ALEX165' date='20.9.2013, 7:54' post='410506']
[quote name='Консул Мартиша Принц' post='410407' date='19.9.2013, 19:16']

Это совсем другой вопрос, мы же говорим о конкретном одном (двух) числе:
[quote name='Консул Мартиша Принц' post='410195' date='18.9.2013, 1:35']

Ха! Это невозможно по определению!!

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post
Для предъявления множества не нужно строить его элементы. Вы неявно предполагаете какие то странные вещи про лексикографический порядок. Он задается без всяких рекурсивных функций и через него дается определение вещественного числа. Иррациональные это будет дополнение к рациональным. Вуаля.

"Для предъявления множества не нужно строить его элементы."

Вы не правы: Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. (Аксиома обьемности). Возможно, вы имеете ввиду аксиому выделения - для любого множества A и предиката P(x), имеющего смысл для всех элементов множества A (т.е. такого, что для любого x принадлежащего A P(x) либо истинно, либо ложно), существует множество X[x принадлежит A & P(x)] , состоящее в точности из тех элементов A, для которых P(x) истинно. Но в ней предполагается, что множество A, а следовательно и его элементы уже построены.

"Вы неявно предполагаете какие то странные вещи про лексикографический порядок. Он задается без всяких рекурсивных функций и через него дается определение вещественного числа"

Я не поняла что вы имеете ввиду под термином "лексикографический порядок".
Лексикографический порядок — отношение линейного порядка на множестве слов длины N над некоторым упорядоченным алфавитом S. (Wiki)
Возможно, вы имеете ввиду, что множество действительных чисел это совокупность всех бесконечных десятичных дробей (выражений вида +- a0,a1a2a3...an....) Но если есть хоть какой-то алгоритм для записи этой бесконечной дроби, то согласно тезису Чёрча эта последовательность является частично рекурсивной функцией.

"Иррациональные это будет дополнение к рациональным."

Иррациональные числа тоже могут быть заданы частично рекурсивной функцией: например корень из 2 или число пи. А вот если из множества действительных чисел исключить все рекурсивно перечислимые, то останутся "невообразимые" для которых принципиально нет никакого алгоритма для их записи.

"Вуаля."

Таки так!

[folk]

К сожалению вы не слышите, что кроме рекурсивных функций есть другие способы описания множеств - а значит и задания)

Source of the post
"Для предъявления множества не нужно строить его элементы."
Вы не правы:

Приведу пример - для построения пересечения счетной системы множеств используется аксиома выбора. Есть и другие способы. Конечным числом слов в учебнике удается описать континуум. Не предъявляя его элементов по отдельности.

то останутся "невообразимые" для которых принципиально нет никакого алгоритма для их записи.

Ну вот допустим мы с вами обсуждаем число скажем Тета, как то мы его описали поняли что оно одно и сошлись что десятичную запись всего числа мы получить не можем. Но тем не менее, любое конечное количество знаков этого Тета задается рекурсивной функцией и может быть записано. Скажите пожалуйста чем это отличается от задания числа Тета рекурсивной функцией. И если найдете отличие, скажите чем это отличается от вычисления числа Пи.

[a89653841042a@yandex.ru]

Source of the post
Приведу пример - для построения пересечения счетной системы множеств используется аксиома выбора. Есть и другие способы. Конечным числом слов в учебнике удается описать континуум. Не предъявляя его элементов по отдельности.

В аксиоматике теории множеств включающей аксиому выбора, можно только сказать что элемент множества существует. Но не более того. А понятие "континум" невозможно формализовать даже счетным числом аксиом, не то что "конечным числом слов". (Теорема Лёвингейма-Скулема)

Source of the post
Ну вот допустим мы с вами обсуждаем число скажем Тета, как то мы его описали поняли что оно одно и сошлись что десятичную запись всего числа мы получить не можем. Но тем не менее, любое конечное количество знаков этого Тета задается рекурсивной функцией и может быть записано. Скажите пожалуйста чем это отличается от задания числа Тета рекурсивной функцией. И если найдете отличие, скажите чем это отличается от вычисления числа Пи.

Для вычисления последовательности числа Пи существует алгоритм, а следовательно, оно задаётся рекурствной функцией. А воображаемое число Тэта не задается НИКАКИМ алгоритмом!!

[folk]

Source of the post
В аксиоматике теории множеств включающей аксиому выбора, можно только сказать что элемент множества существует. Но не более того. А понятие "континум" невозможно формализовать даже счетным числом аксиом, не то что "конечным числом слов". (Теорема Лёвингейма-Скулема)

Задание множества это и есть его описание и доказательство существования. Именно так и описываются пересечения бесконечных множеств. А ваш тезис каков? Что у них нет пересечения если его нельзя конструктивно указать? Сформулируйте свою позицию по данному вопросу пожалуйста.
И тем не менее вы пользуетесь термином континуум и понимаете его безошибочно. А книжек вы конечных прочитали конечное число. Можно предположить что упомянутая вами теорема вами неправильно применяется в данном контексте?

Source of the post
Для вычисления последовательности числа Пи существует алгоритм, а следовательно, оно задаётся рекурствной функцией. А воображаемое число Тэта не задается НИКАКИМ алгоритмом!!

Повторяю - любое конечное число знаков Тета может быть записано рекурсивным алгоритмом как и всякое конечное число. Согласны с этим утверждением? Вопрос - чем это отличается от вычисления числа Пи?

[a89653841042a@yandex.ru]

И кстати, из теоремы Лёвингейма-Скулема следует, что существует модель в которой множество действительных чисел счётно

[folk]

Жаль что дискуссию вы ведете сами с собой) Однако упомянутая вами теорема говорит о языках первого порядка, коим математика не является. А вот это ваше позвольте узнать как доказывается?