Основания геометрии

Shukatsh · Сообщение **Shukatsh** » 23 апр 2012, 06:20

Самоед писал(а):Source of the post
Shukatsh писал(а):Source of the post

И общий вопрос , для всех. А ТОЧКА не связана еще и с понятиями протяженности и делимости?

Аксиома I1. Существуют по крайней мере две точки. Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка. Точка есть фигура. Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат. [4]
Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.

1) "Геометрия" А.В.Погорелов 1988 г. В этом учебнике описываются свойства фигур, с использованием понятия размерности (длины, угловой меры, площади, объема). Часть аксиом объясняется наглядно: "Посмотрите на рисунок 6." То есть используются наглядные образы. Часть аксиом запоминаются через построения фигур (наглядно-действенно). То есть используются все три вида мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое).
Предлагаемая автором темы система аксиом, основанная только на описании абстрактных отношений между точками, без наглядных образов, трудно усваивается (мое скромное мнение).
2) Немного о соответствии утверждений правилам формальной логики (так как аксиомы в обсуждаемой работе формулируются только словесно-логически).
Что такое аксиома? Утверждение (высказывание). Что мы видим в "Аксиоме I1" ? Аж четыре высказывания! В каждом высказывании свои субъект и предикат. Похоже на систему аксиом...
Высказывание: "Точка есть фигура" . Как понимать?
* вариант: Из "Точка"="фигура" следует "фигура"="точка"? (эквивалентность, тождество)
* вариант: "Точка" = "фигура, состоящая из одной точки"? (какая-то тавтология).
А как совместить высказывания "Существуют по крайней мере две точки" и "Точка есть фигура"? Две точки существуют раздельно? Две точки существуют слитно? Как они существуют конкретно? Что означает "крайняя мера"? Более 2 точек не существуют? Менее 2 точек не существуют?
Местоимение нельзя употреблять в высказывании: "Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат". Кто такая "она"? "По крайней мере две точки"?

Учитывая Ваши замечания собираюсь переформулировать первые две аксиомы, не меняя их общего смысла.
Аксиома1₁ . Существуют хотя бы две точки. Для любых двух точек A,B существует по крайней мере одна точка, лежащая между ними, и точки C,D такие, для которых верно C.A.B и A.B.D, а также точка E такая, что никакая из точек A,B,E не лежит между двумя другими из этих точек.
Аксиома1₂ . Каждая точка есть фигура, которая принадлежит себе, и не содержит других точек.
Аксиома1₃ . Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 23 апр 2012, 08:02

Аксиома I_2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.
3.1.2.Определения и аксиомы взаимного расположения точек. Будем говорить, что три точки связаны отношением «лежит между», если одна из них лежит между двумя другими из этих точек и не связаны этим отношением, если ни одна из них не лежит между двумя другими данными точками.
II_1. (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек.

Наверно я слишком много требую от вашей геометрии. Она у вас не конструктивная , а описательная. Для 5 класса пойдет.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 23 апр 2012, 08:23

Shukatsh писал(а):Source of the post
Чтобы получить общее представление не помешает заглянуть в словарь.

ну и накой тогда геометрия. если о "справа, слева , между, равны , параллельно и т.п." я узнаю из словаря?

Shukatsh · Сообщение **Shukatsh** » 24 апр 2012, 04:57

alexy.74 писал(а):Source of the post
Аксиома I_2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.
3.1.2.Определения и аксиомы взаимного расположения точек. Будем говорить, что три точки связаны отношением «лежит между», если одна из них лежит между двумя другими из этих точек и не связаны этим отношением, если ни одна из них не лежит между двумя другими данными точками.
II_1. (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек.

Наверно я слишком много требую от вашей геометрии. Она у вас не конструктивная , а описательная. Для 5 класса пойдет.

Спасибо.

У нас понятия точки, "лежит слева", "лежит между", "принадлежит" и др (глава2) являются основными понятиями, т.е. первичными, не определяемыми через другие понятия. Считается, что мы представляем, что это такое и принимаем их без явных определений. В учебнике для 5 класса мы поместили бы рисунки и другие пояснения. Но это не учебник.
Говоря, что основные понятия определяются аксиоматически, следует понимать только, что эти объекты и отношения имеют свойства, указанные в аксиомах. (В предыдущем посте в аксиоматическом определении "лежит между" я употребила слово "назовем".Неправильно. Это сказуемое для явных определений).
В случае явных определений представления появляются после прочтения определения, аксиоматическое же определение (аксиомы) ,наоборот, следуют из принятого представления, а не дают его.
Ваши рисунки- результат нарушения правил аксиоматических теорий. Это все равно, что сказать "точка A принадлежит фигуре F" и нарисовать ее за пределами этой фигуры.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 24 апр 2012, 07:47

Shukatsh писал(а):Source of the post
Ваши рисунки- результат нарушения правил аксиоматических теорий. Это все равно, что сказать "точка A принадлежит фигуре F" и нарисовать ее за пределами этой фигуры.

давайте конкретно , по моим рисункам . Докажите , что они не соответствуют аксиомам вашей теории.

Shukatsh · Сообщение **Shukatsh** » 25 апр 2012, 07:29

alexy.74 писал(а):Source of the post
Shukatsh писал(а):Source of the post
Ваши рисунки- результат нарушения правил аксиоматических теорий. Это все равно, что сказать "точка A принадлежит фигуре F" и нарисовать ее за пределами этой фигуры.

давайте конкретно , по моим рисункам . Докажите , что они не соответствуют аксиомам вашей теории.

Если бы у человека представление о междулежании точки между двумя другими точками соответствовало вашему рисунку и предложению под ним, то не было бы аксиомы 2.1. (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек.
Ведь если точка C лежит между точками A,B по вашему утверждению, то и точки A,B также лежат между двумя другими точками из тройки A,B,C. Аналогично для тройки A,B,D.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 25 апр 2012, 07:59

Shukatsh писал(а):Source of the post
Ведь если точка C лежит между точками A,B по вашему утверждению, то и точки A,B также лежат между двумя другими точками из тройки A,B,C. Аналогично для тройки A,B,D.

отлично , ваша геометрия отрицает окружности - это первый вариант.
Второй вариант. С лежит между А и В, D лежит между А и В , D лежит меджу С и В. Вашей аксиоме соответствует.

Shukatsh писал(а):Source of the post
Если бы у человека представление о междулежании точки между двумя другими точками соответствовало вашему рисунку

если бы человек ориентировался только на свои представления то не было бы неевклидовых геометрий

Shukatsh · Сообщение **Shukatsh** » 25 апр 2012, 14:27

alexy.74 писал(а):Source of the post
Shukatsh писал(а):Source of the post
Ведь если точка C лежит между точками A,B по вашему утверждению, то и точки A,B также лежат между двумя другими точками из тройки A,B,C. Аналогично для тройки A,B,D.

отлично , ваша геометрия отрицает окружности - это первый вариант.
Второй вариант. С лежит между А и В, D лежит между А и В , D лежит меджу С и В. Вашей аксиоме соответствует.

Шукач: Непонятно.

Shukatsh писал(а):Source of the post
Если бы у человека представление о междулежании точки между двумя другими точками соответствовало вашему рисунку

если бы человек ориентировался только на свои представления то не было бы неевклидовых геометрий

Предметом данной работы является Евклидова геометрия.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 25 апр 2012, 14:56

Shukatsh писал(а):Source of the post
отлично , ваша геометрия отрицает окружности - это первый вариант.
Второй вариант. С лежит между А и В, D лежит между А и В , D лежит меджу С и В. Вашей аксиоме соответствует.

Шукач: Непонятно.

я имел ввиду , что в аксиомах не указано, что точки надо брать на прямой, на отрезке , на луче , на линии, а не просто где-то брать. Добавьте с указанием, что это евклидова геометрия и вопросы отпадут

Shukatsh писал(а):Source of the post
Предметом данной работы является Евклидова геометрия.

теперь нормально

Самоед

Shukatsh писал(а):Source of the post
(1) (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек.

Сравним данное высказывание (1) с другим высказыванием (2):
(2)(Аксиома порядка). "Среди любых трех точек, лежащих на прямой, существует одна точка, лежащая между двумя другими точками".
Отличия:
* в высказывании (2) точки лежат на прямой, а в высказывании (1) точки лежат неизвестно где.
Наглядно- действенно: проведем прямую на бумаге. Прямая линия - геометрическое место точек. Положим на прямой две точки А и В. Образовался отрезок АВ. Точки А и В принадлежат отрезку АВ, назовем точки А и В концами отрезка. Положим на отрезок АВ точку С. В какое место может лечь точка С ? Только в промежуток (АВ), то есть в любое место на линии (АВ), кроме позиций точек А и В. То есть точки А и В позволяют занять другие места на промежутке (АБ) отрезка [AB] бесконечному множеству точек и все эти точки будут лежать на прямой, между точками А и В.
* Равное ли значение имеют термины "не более одной точки"(1) и "одна точка"(2) ?
Дано три точки, двум точкам уготовили роль "крайних" (других), осталась одна точка.
Термин "не более одной точки" запрещает существование 2 или более точек, но не запрещает отсутствие точек (0 точек). То есть между двумя точками, из трех данных точек, третья точка может быть, а может и не быть. Почему не может быть? Места не хватит?

yourdomain.com