Основания геометрии

[Самоед]

Source of the post

И общий вопрос , для всех. А ТОЧКА не связана еще и с понятиями протяженности и делимости?

Аксиома I1. Существуют по крайней мере две точки. Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка. Точка есть фигура. Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат. [4]
Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.

1) "Геометрия" А.В.Погорелов 1988 г. В этом учебнике описываются свойства фигур, с использованием понятия размерности (длины, угловой меры, площади, объема). Часть аксиом объясняется наглядно: "Посмотрите на рисунок 6." То есть используются наглядные образы. Часть аксиом запоминаются через построения фигур (наглядно-действенно). То есть используются все три вида мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое).
Предлагаемая автором темы система аксиом, основанная только на описании абстрактных отношений между точками, без наглядных образов, трудно усваивается (мое скромное мнение).
2) Немного о соответствии утверждений правилам формальной логики (так как аксиомы в обсуждаемой работе формулируются только словесно-логически).
Что такое аксиома? Утверждение (высказывание). Что мы видим в "Аксиоме I1" ? Аж четыре высказывания! В каждом высказывании свои субъект и предикат. Похоже на систему аксиом...
Высказывание: "Точка есть фигура" . Как понимать?
* вариант: Из "Точка"="фигура" следует "фигура"="точка"? (эквивалентность, тождество)
* вариант: "Точка" = "фигура, состоящая из одной точки"? (какая-то тавтология).
А как совместить высказывания "Существуют по крайней мере две точки" и "Точка есть фигура"? Две точки существуют раздельно? Две точки существуют слитно? Как они существуют конкретно? Что означает "крайняя мера"? Более 2 точек не существуют? Менее 2 точек не существуют?
Местоимение нельзя употреблять в высказывании: "Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат". Кто такая "она"? "По крайней мере две точки"?

[Shukatsh]

Source of the post

Source of the post
а что это за перемещения?

В геометрии оно называется еще отображением или движением. Оно должно быть идеализацией обычного перемещения предметов, т.е. сохранять ориентацию (если точка А лежала слева при точке зрения О, то перемещенная точка А должна лежать слева) и расстояние между точками.

это я к тому , что должна задаваться по меньшей мере метрика , понятие равенства.
Понятие метрики не является обязательным. Впервые она появилась после установления недоказуемости аксиомы параллельности работах тех геометров, которые справедпиво не признавали ее как аксиому (ведь не очевидно поведение прямых в бесконечности). Они заменили аксиому параллельности аксиомой о использованием расстояния между точками. см. Введение.
Понятие равенств является основным и определяется шестой группой аксиом. см.главы 2,3

Source of the post
И общий вопрос , для всех. А ТОЧКА не связана еще и с понятиями протяженности и делимости?

Аксиома I1. Существуют по крайней мере две точки. Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка. Точка есть фигура. Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат. [4]

а, это я к тому , что точка - геометрическая понятие и потому должно связываться с метрикой и размерностью. Или по меньшей мере делимостью. Т.е. :"точка - неделимый объект", где "объект" - более абстрактное и обобщенное название , а посему , определению не подлежит. Сама фраза , "точка есть" не говорит о ее свойствах и как с ней работать дальше.

Свойства точек определяются второй группой аксиом.См главы 2,3.

[Shukatsh]

Source of the post

Source of the post

И общий вопрос , для всех. А ТОЧКА не связана еще и с понятиями протяженности и делимости?

Аксиома I1. Существуют по крайней мере две точки. Каждой фигуре принадлежит по крайней мере одна точка. Точка есть фигура. Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат. [4]
Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.

1) "Геометрия" А.В.Погорелов 1988 г. В этом учебнике описываются свойства фигур, с использованием понятия размерности (длины, угловой меры, площади, объема). Часть аксиом объясняется наглядно: "Посмотрите на рисунок 6." То есть используются наглядные образы. Часть аксиом запоминаются через построения фигур (наглядно-действенно). То есть используются все три вида мышления (наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое).
Предлагаемая автором темы система аксиом, основанная только на описании абстрактных отношений между точками, без наглядных образов, трудно усваивается (мое скромное мнение).

Эта работа пока не предлагается в качестве учебника. Думаю, сравнивать ее с учебником рановато.
2) Немного о соответствии утверждений правилам формальной логики (так как аксиомы в обсуждаемой работе формулируются только словесно-логически).
Что такое аксиома? Утверждение (высказывание). Что мы видим в "Аксиоме I1" ? Аж четыре высказывания! В каждом высказывании свои субъект и предикат. Похоже на систему аксиом...

В практике такое допускается, если высказывания дополняют друг друга. Замечание дельное. Надо подумать о перегруппировке.
Высказывание: "Точка есть фигура" . Как понимать?
* вариант: Из "Точка"="фигура" следует "фигура"="точка"? (эквивалентность, тождество)
Исключается так же как из "тополь есть дерево" не следует "дерево есть тополь".
* вариант: "Точка" = "фигура, состоящая из одной точки"? (какая-то тавтология).
Из "точка есть фигура" и "никакие другие ей точки не принадлежат" следует, что точка есть простейшая фигура.
А как совместить высказывания "Существуют по крайней мере две точки" и "Точка есть фигура"? Две точки существуют раздельно? Две точки существуют слитно? Как они существуют конкретно? Что означает "крайняя мера"? Более 2 точек не существуют? Менее 2 точек не существуют?
Местоимение нельзя употреблять в высказывании: "Она принадлежит себе и никакие другие точки ей не принадлежат". Кто такая "она"? "По крайней мере две точки"?

Две точки существуют обязательно. Пример: одна точка-Вы, другая -я. "По крайней мере"-обычное словосочетание в аксиомах. Слитно две точки существовать не могут:Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.
За грамматику спасибо.

[alexy.74]

Source of the post
Свойства точек определяются второй группой аксиом.См главы 2,3.

я просмотрел эти главы.
А теперь представьте , что я не понимаю значения слов точка , геометрическая фигура(которая также определяется через точки), права , лева , между и т.д.. Но я понимаю логические операции .
Я вижу ваши лог. связи между некими "точками" и некими "фигурами" , и "плоскостями", с "прямыми". Я вижу , что "фигура - множество точек" . А что такое точка? Можно было бы "точка" оставить просто словом. Так нет, у вас задано множество точек и говориться о взаимном расположении. Как сама точка соотноситься к понятию размер? А так же к другим точкам?
Я читаю , "справа, слева , между" , но где это - "сверху" , или "красное" или "перченое"- не понимаю? Эти понятия определены только в русском языке , но не в вашей геометрии. Но русский язык не входит в математическую базу понятий.
Понятия "справа,слева,между" подразумевают о упорядоченном расположении точек. Как у вас задан порядок.
Когда вы говорите о равенстве фигур, то подразумеваете , что задана мера и скрытно подразумевает размерность и упорядоченность. Как это у вас задано?
Как без всего этого говорить о "параллельном переносе" при котором сохраняются "размеры"?
Как мне этот "перенос" делать , по словарю Даля? Ну не понимаю я фразы "параллельный перенос".
Либо надо оговаривать , что ваша геометрия не полная.

[alexy.74]

интересный момент

Плоскостью АВС назовём фигуру, образованную прямыми, имеющими по крайней мере две общие точки с каркасом АВС (обозначаем чАВС, также чα,ч,β.. ).

а что такое каркас?

еще одна тавтология

Будем говорить, что три точки связаны отношением «лежит между», если одна из них лежит между двумя другими из этих точек и не связаны этим отношением, если ни одна из них не лежит между двумя другими данными точками.

Здесь..

Если одну из двух точек полагаем первой, или начальной, а другую-второй, или конечной, то такие две точки называем упорядоченной парой точек, которая задает направление из первой точки во вторую (из начальной в конечную).

надо так. Если пару точек считать упорядоченной , то одну точку можно назвать "первой" , а "другую "второй"

здесь..

1) точки B,C лежат в противоположных направлениях при точке зрения А (направления A.B и A.С – противоположные, или точки В,С противолежат при точке зрения А), если точка А лежит между точками B,C (обозначаем как и отношение «лежит между» B.A.C или C.A.B ) ;

А если они на плоскости?
"противоположные" и "лежит между"- связанные понятия. Значит опять тавтология.

Здесь...

Прямой АВ или ВА назовём фигуру, образованную точками А,В и точками, связанными отношением «лежит между» с точками А,В. Прямую АВ будем обозначать АВ или а, в…

а если они не на прямой лежат. Ведь порядок расположения "лежит между" не математический. Вы порядок не задали.

Еще..

Будем говорить, что преобразование сохраняет расстояние если оно произвольным точкам Х,У сопоставляет такие точки Х1,У1, что ХУ=Х1У1.

что есть расстояние? Как его мерять , если оно вообще меряется?

[Shukatsh]

Source of the post
интересный момент

Плоскостью АВС назовём фигуру, образованную прямыми, имеющими по крайней мере две общие точки с каркасом АВС (обозначаем чАВС, также чα,ч,β.. ).

а что такое каркас?

Пусть точки A,B,C не связаны отношением ｫлежит междуｻ. Каркасом АВС назовём фигуру, образованную прямыми АВ, АС и ВС.

еще одна тавтология

Будем говорить, что три точки связаны отношением «лежит между», если одна из них лежит между двумя другими из этих точек и не связаны этим отношением, если ни одна из них не лежит между двумя другими данными точками.

Словосочетание "три точки связаны отношением "лежит между"" определяется через основное отношение "лежит между", которое определяется аксиомами из первой и второй групп аксиом. Поместить его нужно после этих аксиом.

Здесь..

Если одну из двух точек полагаем первой, или начальной, а другую-второй, или конечной, то такие две точки называем упорядоченной парой точек, которая задает направление из первой точки во вторую (из начальной в конечную).

надо так. Если пару точек считать упорядоченной , то одну точку можно назвать "первой" , а "другую "второй"
Возможно, так лучше. Собираюсь исправить.

здесь..

1) точки B,C лежат в противоположных направлениях при точке зрения А (направления A.B и A.С – противоположные, или точки В,С противолежат при точке зрения А), если точка А лежит между точками B,C (обозначаем как и отношение «лежит между» B.A.C или C.A.B ) ;

А если они на плоскости?

Вопрос не понятен.
"противоположные" и "лежит между"- связанные понятия. Значит опять тавтология.

Отношение противолежания определяется через основное отношение "лежит между", которое определяется через аксиомы.

Здесь...

Прямой АВ или ВА назовём фигуру, образованную точками А,В и точками, связанными отношением «лежит между» с точками А,В. Прямую АВ будем обозначать АВ или а, в…

а если они не на прямой лежат. Ведь порядок расположения "лежит между" не математический. Вы порядок не задали.

Отношение "лежит между"-основное . Оно определяется аксиомами 1₂ и 2₁ .

Еще..

Будем говорить, что преобразование сохраняет расстояние если оно произвольным точкам Х,У сопоставляет такие точки Х1,У1, что ХУ=Х1У1.

что есть расстояние? Как его мерять , если оно вообще меряется?

Понятие "расстояние" не используется. Дается определение словосочетанию "преобразование сохраняет расстояние", которое используется только в определении перемещения. Если его убрать, то определение перемещения будет длиннее на несколько слов.

[alexy.74]

Пусть точки A,B,C не связаны отношением ｫлежит междуｻ. Каркасом АВС назовём фигуру, образованную прямыми АВ, АС и ВС.

а фигура - множество точек. И все это опять таки расположено между.

Отношение противолежания определяется через основное отношение "лежит между", которое определяется через аксиомы.

Отношение "лежит между"-основное . Оно определяется аксиомами 1_2 и 2_1

нет там определения , что значит "лежит между".

II1. (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек

Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.

нет у вас нигде объяснения "лежит между". Вы должны давать ссылку в аксиомах на словарь Даля. И как дополнительный источник терминов - словарь Ожегова. :lool:

да, и когда цитируете кого-либо , свои комментарии ставьте за пределами цитаты . Очень тяжело догадаться где моя цитата , а где в ней ваш ответ.

[alexy.74]

Понятие "расстояние" не используется. Дается определение словосочетанию "преобразование сохраняет расстояние", которое используется только в определении перемещения

без комментариев

[Shukatsh]

Source of the post

Пусть точки A,B,C не связаны отношением ｫлежит междуｻ. Каркасом АВС назовём фигуру, образованную прямыми АВ, АС и ВС.

а фигура - множество точек. И все это опять таки расположено между.

Отношение противолежания определяется через основное отношение "лежит между", которое определяется через аксиомы.

Отношение "лежит между"-основное . Оно определяется аксиомами 1_2 и 2_1

нет там определения , что значит "лежит между".

II1. (Аксиома трех точек). Среди любых трех точек существует не более одной точки, лежащей между двумя другими из этих точек

Аксиома I2. (аксиома двух точек). Для любых двух точек А,В, существует по крайней мере одна точка С, лежащая между точками А,В (А.С.В) и точки D,E такие, что точка А лежит между точками D,B (D.A.B), а также точка G такая, что никакая из точек A,B,G не лежит между двумя из этих точек.

нет у вас нигде объяснения "лежит между". Вы должны давать ссылку в аксиомах на словарь Даля. И как дополнительный источник терминов - словарь Ожегова. :lool:

да, и когда цитируете кого-либо , свои комментарии ставьте за пределами цитаты . Очень тяжело догадаться где моя цитата , а где в ней ваш ответ.

1) Повторяю: отнощение "лежит между" определяется аксиомами 1₂ и 2₁ .Это-аксиоматическое определение. Его следует понимать так: "лежит между" назовем отношение, для которого выполняются аксиомы1₂ и 2₁ .
Аналогично определяются остальные четыре основных отношения.
2) Определение перемещения заменяю на эквивалентное:Перемещением назовем сохраняющее ориентацию преобразование, которое сопоставляет произвольным точкам X,Y такие точки X¹ ,Y¹ , что XY=X¹ Y¹
потому что прежнее неправильно понимается.

[Shukatsh]

Source of the post

Source of the post
Свойства точек определяются второй группой аксиом.См главы 2,3.

я просмотрел эти главы.
А теперь представьте , что я не понимаю значения слов точка , геометрическая фигура(которая также определяется через точки), права , лева , между и т.д.. Но я понимаю логические операции .
Я вижу ваши лог. связи между некими "точками" и некими "фигурами" , и "плоскостями", с "прямыми". Я вижу , что "фигура - множество точек" . А что такое точка? Можно было бы "точка" оставить просто словом. Так нет, у вас задано множество точек и говориться о взаимном расположении. Как сама точка соотноситься к понятию размер? А так же к другим точкам?
Я читаю , "справа, слева , между" , но где это - "сверху" , или "красное" или "перченое"- не понимаю? Эти понятия определены только в русском языке , но не в вашей геометрии. Но русский язык не входит в математическую базу понятий.
Понятия "справа,слева,между" подразумевают о упорядоченном расположении точек. Как у вас задан порядок.
Когда вы говорите о равенстве фигур, то подразумеваете , что задана мера и скрытно подразумевает размерность и упорядоченность. Как это у вас задано?
Как без всего этого говорить о "параллельном переносе" при котором сохраняются "размеры"?
Как мне этот "перенос" делать , по словарю Даля? Ну не понимаю я фразы "параллельный перенос".
Либо надо оговаривать , что ваша геометрия не полная.

Точки, фигуры-основные объекты. Они, как и основные отношения определятся аксиооматически.

Понятия слева и равенства- также основные и раскрываются в аксиомах.

Равенство фигур подразумевает только то, что они сопоставляются (совпадают ) при перемещении (наложении). Это говорится в аксиоме равенства.

"Параллельного переноса" в работе нет. Для исследования преобразования "перенос" вполне достаточно принятых основных понятий и определения переноса в главе 9. Сохранение размеров- только следствие принятых основных понятий , определения переноса и основных положений измерения. Это лежит за пределами основ.

В определении понятия конкретной теории указываются только свойства, которые будут в ней использоваться. Чтобы получить общее представление не помешает заглянуть в словарь.