He всегда.
Пусть дано алгебраическое уравнения c действительными коэффициентами
![$$a_nx^n+a_{n-1}x^_{n-1}+...+ a_1x+a_0=0$$ $$a_nx^n+a_{n-1}x^_{n-1}+...+ a_1x+a_0=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24a_nx%5En%2Ba_%7Bn-1%7Dx%5E_%7Bn-1%7D%2B...%2B%20a_1x%2Ba_0%3D0%24%24)
. После подстановки
![$$x=\frac {y} {a_n}$$ $$x=\frac {y} {a_n}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D%5Cfrac%20%7By%7D%20%7Ba_n%7D%24%24)
и несложных преобразований получим приведённое уравнение
![$$x^n+b_{n-1}x^_{n-1}+...+ b_1x+b_0=0$$ $$x^n+b_{n-1}x^_{n-1}+...+ b_1x+b_0=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5En%2Bb_%7Bn-1%7Dx%5E_%7Bn-1%7D%2B...%2B%20b_1x%2Bb_0%3D0%24%24)
(коэффициент при старшем члене равен 1).
Eсли такое уравнение имеет целые корни
![$$y_i \ (i=1...n)$$ $$y_i \ (i=1...n)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y_i%20%5C%20%28i%3D1...n%29%24%24)
, то они находятся среди делителей свободного члена
![$$b_0$$ $$b_0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24b_0%24%24)
.
Пример 1. Уравнение
![$$24x^3-26x^2+9x-1=0$$ $$24x^3-26x^2+9x-1=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%2424x%5E3-26x%5E2%2B9x-1%3D0%24%24)
после замены
![$$x=\frac {y} {24}$$ $$x=\frac {y} {24}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D%5Cfrac%20%7By%7D%20%7B24%7D%24%24)
и упрощения становится приведённым, его корни
![$$y=12; \ 8; \ 6$$ $$y=12; \ 8; \ 6$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%3D12%3B%20%5C%208%3B%20%5C%206%24%24)
находятся среди делителей свободного члена. Значит, корни исходного уравнения
![$$x=\frac {1} {4}; \ \frac {1} {3}; \ \frac {1} {2}$$ $$x=\frac {1} {4}; \ \frac {1} {3}; \ \frac {1} {2}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%3D%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B4%7D%3B%20%5C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B3%7D%3B%20%5C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%20%7B2%7D%24%24)
.
Пример 2. Уравнение
![$$87x^3-x+2011=0$$ $$87x^3-x+2011=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%2487x%5E3-x%2B2011%3D0%24%24)
вообще не имеет рациональных корней.
Последний раз редактировалось
Ellipsoid 29 ноя 2019, 17:15, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test