иррациональность

Draeden · Сообщение **Draeden** » 04 фев 2008, 18:30

Вот ещё одна интересная хрень взятая отсюда.
Если $$f$$

- алгебраическая функция одного аргумента (т.e. $\forall a_0,\ldots,a_n \in C[x] \quad \exists x \in C \quad a_0(x)+a_1(x)f(x)+\ldots+a_n(x)f^n(x) \ne 0$ ) и $$ z $$

трансцендетно, то $$f(z)$$

трансцендетно.

Теперь есть целых три теоремы вот только как доказать, что $2^{\pi}$ трансцендетно, до сих пор неясно

YURI · Сообщение **YURI** » 06 фев 2008, 10:52

Draeden писал(а):Source of the post

Теперь есть целых три теоремы вот только как доказать, что $2^{\pi}$ трансцендетно, до сих пор неясно

Как ни странно, но этот пример ускользнул от моего взора. B примере, как я понял, Вы, vladb314, пользуетесь тем, что отношение двух алгебраических – снова алгебраическое. Если докажете это строго, c удовольствием поставлю Вам +.

Draeden, по чему это нельзя без теорем? A мозги на что?

Draeden · Сообщение **Draeden** » 06 фев 2008, 15:35

Draeden, по чему это нельзя без теорем? A мозги на что?

Посмотрите на доказательство того факта, что e трансцендетно. Конечно доказать это можно тривиально, как следствие теоремы Линдемана, но доказательство этой теоремы намного сложнее. Могли бы вы самостоятельно доказать, что $2^{\sqrt 3}$ трансцендетно, без теоремы Гельфонда ? Вы можете объяснить, почему $log_7{17}$ трансцендетно ? B своё время ещё Эйлер предполагал, что числа $$log_ab$$

трансцендетны. Он не смог доказать это сходу. Вы сможете ? Известно, что $e^{\pi}$ трансцендетно, т.к. $e^{\pi}=(-1)^{-i}$ . Ho едва ли вы сможете доказать трансцендетность, скажем, числа $\pi^{\pi}$ , т.к. на сегодняшний день неизвестно, является ли оно трансцендетным или алгебраическим. Число $2^{\pi}$ может быть той же природы. Так что теоремы полезно знать, хотя бы затем, чтобы не ломать голову над неразрешимыми проблемами.

Также обнаружено ещё одно свойство трансцендетных чисел, в какой то мере фундаментальное.

Кроме того алгебраические числа образуют поле, в частности они замкнуты по сложению и умножению, a также обратимы. Эти факты хорошо известны, вот их вполне можно доказывать.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 06 фев 2008, 17:12

YURI писал(а):Source of the post
Как ни странно, но этот пример ускользнул от моего взора. B примере, как я понял, Вы, vladb314, пользуетесь тем, что отношение двух алгебраических – снова алгебраическое. Если докажете это строго, c удовольствием поставлю Вам +.

Я считаю, что это ответ:

Draeden писал(а):Source of the post
Кроме того алгебраические числа образуют поле, в частности они замкнуты по сложению и умножению, a также обратимы. Эти факты хорошо известны...

Можете поставить + Draeden'у

YURI · Сообщение **YURI** » 07 фев 2008, 08:55

1) Я в своей жизни видел 2 док-ва трансцендентности e: Линдемана и Клейна.
2) Ha данный момент, конечно, не смог бы, надо подрасти
3) Да, вот только c помощью теоремы Гельфонда можно объяснить трансцендентность логарифмов. Да, вот только, наверно, Эйлер не полагал, что $$ b=a^c $$

, где c-алгебраическое.
4) Можно д-ть, что обратное число алгебр. числу тоже алгебраическое. Докажите теперь, пожалуйста, что это верно и для произведения. Вот тогда плюс и поставлю.

Да, теоремы нужны, я не спорю, но есть же ещё и собственные мысли, например
vladb314 дал отличный пример!
Возможно, я не так просвещён, как Вы, уважаемый Draeden, поэтому ещё раз напишите по пунктам, какие проблемы неразрешимы.

YURI · Сообщение **YURI** » 08 фев 2008, 16:50

Хорошо. Вот, посмотрите, пожалуйста. Я несколько модифицировал рассуждения vladb314’a.

Рассмотрим верное равенство: $lg2= \frac{\log_{T}2}{\log{T}10}$ (где T - произвольное действительное трансцендентное число). B левой части стоит трансцендентное число, значит хотя бы одно из чисел (в числителе или знаменателе есть число трансцендентное). Тогда имеем:

$\log_{T}2 =T_1$ и (или) $\log_{T}2 =T_2$ ,
B силу того, что область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел, положим, что $T_1=\pi^{-1}$ , если трансцендентен числитель, и что $T_2=\pi^{-1}$ , если трансцендентен знаменатель, тогда получим, что хотя бы одно из чисел $2^{\pi}$ и $10^{\pi}$ есть трансцендентное. Вот так! (да, Draeden, здесь конечно же не обойтись без Теорем: трансцендентность десятичного логарифма доказывается при помощи Теоремы Гельфонда) Мне кажется, что в данном случае трансцендентны будут оба этих числа, не знаю пока как это показать…) Что скажете?

yourdomain.com