Вот ещё одна интересная хрень взятая отсюда.
Если - алгебраическая функция одного аргумента (т.e. ) и трансцендетно, то трансцендетно.
Теперь есть целых три теоремы вот только как доказать, что трансцендетно, до сих пор неясно
иррациональность
иррациональность
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
иррациональность
Draeden писал(а):Source of the post
Теперь есть целых три теоремы вот только как доказать, что трансцендетно, до сих пор неясно
Как ни странно, но этот пример ускользнул от моего взора. B примере, как я понял, Вы, vladb314, пользуетесь тем, что отношение двух алгебраических – снова алгебраическое. Если докажете это строго, c удовольствием поставлю Вам +.
Draeden, по чему это нельзя без теорем? A мозги на что?
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
иррациональность
Draeden, по чему это нельзя без теорем? A мозги на что?
Посмотрите на доказательство того факта, что e трансцендетно. Конечно доказать это можно тривиально, как следствие теоремы Линдемана, но доказательство этой теоремы намного сложнее. Могли бы вы самостоятельно доказать, что трансцендетно, без теоремы Гельфонда ? Вы можете объяснить, почему трансцендетно ? B своё время ещё Эйлер предполагал, что числа трансцендетны. Он не смог доказать это сходу. Вы сможете ? Известно, что трансцендетно, т.к. . Ho едва ли вы сможете доказать трансцендетность, скажем, числа , т.к. на сегодняшний день неизвестно, является ли оно трансцендетным или алгебраическим. Число может быть той же природы. Так что теоремы полезно знать, хотя бы затем, чтобы не ломать голову над неразрешимыми проблемами.
Также обнаружено ещё одно свойство трансцендетных чисел, в какой то мере фундаментальное.
Кроме того алгебраические числа образуют поле, в частности они замкнуты по сложению и умножению, a также обратимы. Эти факты хорошо известны, вот их вполне можно доказывать.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
иррациональность
YURI писал(а):Source of the post
Как ни странно, но этот пример ускользнул от моего взора. B примере, как я понял, Вы, vladb314, пользуетесь тем, что отношение двух алгебраических – снова алгебраическое. Если докажете это строго, c удовольствием поставлю Вам +.
Я считаю, что это ответ:
Draeden писал(а):Source of the post
Кроме того алгебраические числа образуют поле, в частности они замкнуты по сложению и умножению, a также обратимы. Эти факты хорошо известны...
Можете поставить + Draeden'у
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
иррациональность
1) Я в своей жизни видел 2 док-ва трансцендентности e: Линдемана и Клейна.
2) Ha данный момент, конечно, не смог бы, надо подрасти
3) Да, вот только c помощью теоремы Гельфонда можно объяснить трансцендентность логарифмов. Да, вот только, наверно, Эйлер не полагал, что , где c-алгебраическое.
4) Можно д-ть, что обратное число алгебр. числу тоже алгебраическое. Докажите теперь, пожалуйста, что это верно и для произведения. Вот тогда плюс и поставлю.
Да, теоремы нужны, я не спорю, но есть же ещё и собственные мысли, например
vladb314 дал отличный пример!
Возможно, я не так просвещён, как Вы, уважаемый Draeden, поэтому ещё раз напишите по пунктам, какие проблемы неразрешимы.
2) Ha данный момент, конечно, не смог бы, надо подрасти
3) Да, вот только c помощью теоремы Гельфонда можно объяснить трансцендентность логарифмов. Да, вот только, наверно, Эйлер не полагал, что , где c-алгебраическое.
4) Можно д-ть, что обратное число алгебр. числу тоже алгебраическое. Докажите теперь, пожалуйста, что это верно и для произведения. Вот тогда плюс и поставлю.
Да, теоремы нужны, я не спорю, но есть же ещё и собственные мысли, например
vladb314 дал отличный пример!
Возможно, я не так просвещён, как Вы, уважаемый Draeden, поэтому ещё раз напишите по пунктам, какие проблемы неразрешимы.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
иррациональность
Хорошо. Вот, посмотрите, пожалуйста. Я несколько модифицировал рассуждения vladb314’a.
Рассмотрим верное равенство: (где T - произвольное действительное трансцендентное число). B левой части стоит трансцендентное число, значит хотя бы одно из чисел (в числителе или знаменателе есть число трансцендентное). Тогда имеем:
и (или) ,
B силу того, что область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел, положим, что , если трансцендентен числитель, и что , если трансцендентен знаменатель, тогда получим, что хотя бы одно из чисел и есть трансцендентное. Вот так! (да, Draeden, здесь конечно же не обойтись без Теорем: трансцендентность десятичного логарифма доказывается при помощи Теоремы Гельфонда) Мне кажется, что в данном случае трансцендентны будут оба этих числа, не знаю пока как это показать…) Что скажете?
Рассмотрим верное равенство: (где T - произвольное действительное трансцендентное число). B левой части стоит трансцендентное число, значит хотя бы одно из чисел (в числителе или знаменателе есть число трансцендентное). Тогда имеем:
и (или) ,
B силу того, что область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел, положим, что , если трансцендентен числитель, и что , если трансцендентен знаменатель, тогда получим, что хотя бы одно из чисел и есть трансцендентное. Вот так! (да, Draeden, здесь конечно же не обойтись без Теорем: трансцендентность десятичного логарифма доказывается при помощи Теоремы Гельфонда) Мне кажется, что в данном случае трансцендентны будут оба этих числа, не знаю пока как это показать…) Что скажете?
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость