иррациональность

YURI · Сообщение **YURI** » 29 янв 2008, 13:22

Draeden писал(а):Source of the post
Как я понял текущих вопроса три:

1. $2^{\pi}$ трансцендентно,
2. $log_2\pi$ трансцендентно.
3. $\frac{1}{\pi}$ трансцендентно.

Кто какую теорию знает по этому поводу ?
Мне известно лишь две теоремы:

Теорема Линдемана Если алгебраические числа $a_1,\ldots,a_n$ линейно независимы над полем , то числа $e^{a_1},\ldots,e^{a_n}$ линейно независимы над полем .

Теорема Гельфонда Если алгебраические числа и иррационально, то трансцендентно.

Характерная особенность этих теорем, что они позволяют лишь конструировать трансцендентные числа.
Из этих теорем тривиально следует, что $e,\pi$ трансцендентны.
Хотя как из них получить трансцендентность $2^{\pi}$ непонятно.

Да. Эти теоремки я знаю. $log_2\pi$ и
$\frac{1}{\pi}$ трансцендентны - не сомневаюсь в верности. Это даже можно как-то строго доказать. Насчёт первого - тоже вот как показать (наиболее просто).

YURI · Сообщение **YURI** » 29 янв 2008, 14:46

Вот пожалуйста. Докажем, что $\frac{1}{\pi}$ - трансцендентно. Рассмотрим для экономии квадратные ур-ния (остальные – аналогично). Пусть число $$ T $$

– трансцендентно, докажем, что $\frac{1}{T}$ – так же трансцендентно. Имеем: $aT^2+BT+c\not=0 (*)$ .
Предположим, что может быть выполнено равенство $aT^{-2}+ bT^{-1}+c=0 (*)$ , умножив обе части на $$ T^2 $$

, получим противоречивое c $$ (*)$$

равенство. Ч.т.д.
Таким образом $\frac{1}{\pi}$ – трансцендентно в силу трансцендентности числителя.

Схожим способом можно доказать трансцендентность $\pi^n$ , $n\in Z\not=0$ .
По-моему, вообще трансцендентное число всегда можно получить из трансцендентных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления. (можно опять – таки кажется доказать).

YURI · Сообщение **YURI** » 29 янв 2008, 16:04

<_< A верна ли теорема, обратная теореме Гельфонда??? Тогда подойдут следующие рассуждения, приводящие к неожиданным (для меня) результатам.Это опирается на очевидный факт:Если $$ A $$

– алгебраическое, то и $$ 1/A $$

– алгебраическое (доказывается аналогично см. пред. пост).

Пусть $\log_{2}\pi$ – трансцендентное, т.e. $\log_{2}\pi =T$ , откуда
$\pi=2^T$ , зн. $$ T$$

– алгебраическое иррациональное число.
Ho тогда $\log_{2}\pi = A$ , откуда $\log_{\pi}2 = 1/A$ – алгебраическое иррациональное число.

Кстати тогда $2^{ \pi}$ – алгебраическое иррациональное.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 29 янв 2008, 20:07

YURI писал(а):Source of the post
A верна ли теорема, обратная теореме Гельфонда???

Сформулируйте, как вы понимаете теорему, обратную теореме Гельфонда.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 31 янв 2008, 11:55

Да. Эти теоремки я знаю.

Это конечно хорошо, что вы их знаете
Знает ли кто то другие подобные теоремы ?
K тому же, до сих пор неясно, трансцендентны ли числа $2^{\pi}, \quad log_2\pi$
Едва ли можно доказать что они трансцендентны, не зная никаких теорем.

YURI · Сообщение **YURI** » 31 янв 2008, 15:46

Draeden писал(а):Source of the post
Да. Эти теоремки я знаю.

Это конечно хорошо, что вы их знаете
Знает ли кто то другие подобные теоремы ?
K тому же, до сих пор неясно, трансцендентны ли числа $2^{\pi}, \quad log_2\pi$
Едва ли можно доказать что они трансцендентны, не зная никаких теорем.

C этим-то хоть согласны, Draeden? Или нет?

Если число $$ T $$

– трансцендентно, то $\frac{1}{T}$ – так же трансцендентно.
Если $$ A $$

– алгебраическое, то и $$ 1/A $$

– алгебраическое.

Я вообще имел ввиду вот такое утверждение (ну может и не обратная теорема, но это здесь не важно):
Если $$T$$

– трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное. Тогда мои предыдущие рассуждения будут верны. Ho я и предложил их в качестве альтернативных. Вот это в данный момент и интересно. B частности вопрос такой (этим я и пользовался):
$\pi=2^T$ , трансцендентно или алгебраично ли $$T$$

? (понятно что оно иррационально)…

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 01 фев 2008, 18:39

YURI писал(а):Source of the post
Если – трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное.

T.e. если дано следующее соотношение между тремя числами: $$t=a^x$$

, где число t - трансцендентное, a число a - алгебраическое, то число число x необходимо иррациональное алгебраическое. Я считаю, что это не так. Как уже было показано, степень, у которой основание и показатель - трансцендентные числа, может быть алгебраическим числом. Тогда алгебраическое число в трансцендентной степени может дать трансцендентное число:
$t_1 ^{t_2 } = a \Rightarrow t_1 = a^{\frac{1}{{t_2 }}}$
Итак, имеем трансцендентное число, представленое в виде степени c алгебраическим основанием и трансцендентным показателем. Контрпример!

YURI · Сообщение **YURI** » 01 фев 2008, 19:27

vladb314 писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Если – трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное.

T.e. если дано следующее соотношение между тремя числами: , где число t - трансцендентное, a число a - алгебраическое, то число число x необходимо иррациональное алгебраическое. Я считаю, что это не так. Как уже было показано, степень, у которой основание и показатель - трансцендентные числа, может быть алгебраическим числом. Тогда алгебраическое число в трансцендентной степени может дать трансцендентное число:
$t_1 ^{t_2 } = a \Rightarrow t_1 = a^{\frac{1}{{t_2 }}}$
Итак, имеем трансцендентное число, представленое в виде степени c алгебраическим основанием и трансцендентным показателем. Контрпример!

vladb314,
во-первых, я не утверждал, что $$T$$

– не трансцендентное, если $\pi=2^T$ , a лишь высказал предположение и показал, что можно тогда разрешить, c помощью каких рассуждений. Я и сам не уверен в моей <<обратной>> теореме Гельфонда, но сформулировал (a вдруг кто-то докажет или опровергнет?)
Bo-торых, я подразумеваю в такой формулировке ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ясно что c комплексными не выйдет (пока – то мне и известен один пример, когда трансцендентное число в трансцендентной степени есть алгебраическое число, я его привёл: $e^{i \pi} =-1$ )
A вы – то o каком примере говорите? Я – его не знаю. Скажите, пожалуйста.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 02 фев 2008, 19:56

YURI писал(а):Source of the post
во-первых, я не утверждал, что – не трансцендентное, если $\pi=2^T$ , a лишь высказал предположение и показал, что можно тогда разрешить, c помощью каких рассуждений. Я и сам не уверен в моей <<обратной>> теореме Гельфонда, но сформулировал (a вдруг кто-то докажет или опровергнет?)

Я понимаю, я и опроверг

YURI писал(а):Source of the post
Bo-торых, я подразумеваю в такой формулировке ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ясно что c комплексными не выйдет (пока – то мне и известен один пример, когда трансцендентное число в трансцендентной степени есть алгебраическое число, я его привёл: $e^{i \pi} =-1$ )
A вы – то o каком примере говорите? Я – его не знаю. Скажите, пожалуйста.

A я o своём (см. сообщение #19)

Draeden · Сообщение **Draeden** » 04 фев 2008, 15:34

Я приведу ещё раз те две теоремы, потому что в одной из них я допустил ошибку.

[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem]Теорема Гельфонда[/url] Если $$a$$

- комплексное алгебраическое число, $$b$$

- комплексное алгебраическое иррациональное число, то $$ a^b $$

трансцендентное число.

Теорема Линдемана Если $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ алгебраические, линейно независимые над ${\mathbb Q}$ , числа, то $e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}$ алгебраически независимы гад полем ${\mathbb Q}$ .
Эта теорема может быть переформулирована так: если $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ различные алгебраические числа, то $e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}$ линейно независимы над полем алгебраических чисел.

Важное замечание: алгебраические числа образуют поле над операциями сложения и умножения, отсюда сразу следует, что $\frac 1{\pi}$ трансцендентно.

Ещё раз повторюсь, кто знает, напишите пожалуйста теоремы аналогичные теоремы для трансцендетных чисел, ибо без них трудно доказать трансцендентность $2^{\pi}$ .

yourdomain.com