иррациональность

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 29 янв 2008, 13:22

Draeden писал(а):Source of the post
Как я понял текущих вопроса три:

1. $$ 2^{\pi} $$ трансцендентно,
2. $$ log_2\pi $$ трансцендентно.
3. $$\frac{1}{\pi} $$ трансцендентно.

Кто какую теорию знает по этому поводу ?
Мне известно лишь две теоремы:

Теорема Линдемана Если алгебраические числа $$a_1,\ldots,a_n$$ линейно независимы над полем $$Q$$, то числа $$e^{a_1},\ldots,e^{a_n}$$ линейно независимы над полем $$Q$$.

Теорема Гельфонда Если $$a,b$$ алгебраические числа и $$b$$ иррационально, то $$a^b$$ трансцендентно.

Характерная особенность этих теорем, что они позволяют лишь конструировать трансцендентные числа.
Из этих теорем тривиально следует, что $$e,\pi$$ трансцендентны.
Хотя как из них получить трансцендентность $$ 2^{\pi} $$ непонятно.


Да. Эти теоремки я знаю. $$ log_2\pi $$ и
$$\frac{1}{\pi} $$ трансцендентны - не сомневаюсь в верности. Это даже можно как-то строго доказать. Насчёт первого - тоже вот как показать (наиболее просто).
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 29 янв 2008, 14:46

Вот пожалуйста. Докажем, что $$ \frac{1}{\pi} $$ - трансцендентно. Рассмотрим для экономии квадратные ур-ния (остальные – аналогично). Пусть число$$ T $$ – трансцендентно, докажем, что $$ \frac{1}{T} $$ – так же трансцендентно. Имеем: $$ aT^2+BT+c\not=0 (*) $$.
Предположим, что может быть выполнено равенство $$ aT^{-2}+ bT^{-1}+c=0 (*) $$, умножив обе части на $$ T^2 $$, получим противоречивое c $$ (*)$$ равенство. Ч.т.д.
Таким образом $$ \frac{1}{\pi} $$ – трансцендентно в силу трансцендентности числителя.

Схожим способом можно доказать трансцендентность $$ \pi^n $$, $$ n\in Z\not=0$$.
По-моему, вообще трансцендентное число всегда можно получить из трансцендентных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления. (можно опять – таки кажется доказать).
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 29 янв 2008, 16:04

<_< A верна ли теорема, обратная теореме Гельфонда??? Тогда подойдут следующие рассуждения, приводящие к неожиданным (для меня) результатам.Это опирается на очевидный факт:Если $$ A $$ – алгебраическое, то и $$ 1/A $$ – алгебраическое (доказывается аналогично см. пред. пост).

Пусть$$ \log_{2}\pi$$ – трансцендентное, т.e. $$ \log_{2}\pi =T$$, откуда
$$ \pi=2^T$$, зн. $$ T$$ – алгебраическое иррациональное число.
Ho тогда $$ \log_{2}\pi = A$$, откуда $$ \log_{\pi}2 = 1/A$$ – алгебраическое иррациональное число.

Кстати тогда $$2^{ \pi}$$ – алгебраическое иррациональное.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение vladb314 » 29 янв 2008, 20:07

YURI писал(а):Source of the post
A верна ли теорема, обратная теореме Гельфонда???

Сформулируйте, как вы понимаете теорему, обратную теореме Гельфонда.
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение Draeden » 31 янв 2008, 11:55

Да. Эти теоремки я знаю.

Это конечно хорошо, что вы их знаете
Знает ли кто то другие подобные теоремы ?
K тому же, до сих пор неясно, трансцендентны ли числа $$2^{\pi}, \quad log_2\pi$$
Едва ли можно доказать что они трансцендентны, не зная никаких теорем.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 31 янв 2008, 15:46

Draeden писал(а):Source of the post
Да. Эти теоремки я знаю.

Это конечно хорошо, что вы их знаете
Знает ли кто то другие подобные теоремы ?
K тому же, до сих пор неясно, трансцендентны ли числа $$2^{\pi}, \quad log_2\pi$$
Едва ли можно доказать что они трансцендентны, не зная никаких теорем.


C этим-то хоть согласны, Draeden? Или нет?

Если число$$ T $$ – трансцендентно, то $$ \frac{1}{T} $$ – так же трансцендентно.
Если $$ A $$ – алгебраическое, то и $$ 1/A $$ – алгебраическое.

Я вообще имел ввиду вот такое утверждение (ну может и не обратная теорема, но это здесь не важно):
Если $$T$$ – трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное. Тогда мои предыдущие рассуждения будут верны. Ho я и предложил их в качестве альтернативных. Вот это в данный момент и интересно. B частности вопрос такой (этим я и пользовался):
$$ \pi=2^T$$, трансцендентно или алгебраично ли $$T$$? (понятно что оно иррационально)…
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение vladb314 » 01 фев 2008, 18:39

YURI писал(а):Source of the post
Если $$T$$ – трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное.

T.e. если дано следующее соотношение между тремя числами: $$t=a^x$$, где число t - трансцендентное, a число a - алгебраическое, то число число x необходимо иррациональное алгебраическое. Я считаю, что это не так. Как уже было показано, степень, у которой основание и показатель - трансцендентные числа, может быть алгебраическим числом. Тогда алгебраическое число в трансцендентной степени может дать трансцендентное число:
$$t_1 ^{t_2 }  = a \Rightarrow t_1  = a^{\frac{1}{{t_2 }}} $$
Итак, имеем трансцендентное число, представленое в виде степени c алгебраическим основанием и трансцендентным показателем. Контрпример!
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
YURI
Сообщений: 5373
Зарегистрирован: 12 дек 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение YURI » 01 фев 2008, 19:27

vladb314 писал(а):Source of the post
YURI писал(а):Source of the post
Если $$T$$ – трансцендентное, то если его представить в виде степени c алгебраическим основанием, то показатель суть число алгебраическое иррациональное.

T.e. если дано следующее соотношение между тремя числами: $$t=a^x$$, где число t - трансцендентное, a число a - алгебраическое, то число число x необходимо иррациональное алгебраическое. Я считаю, что это не так. Как уже было показано, степень, у которой основание и показатель - трансцендентные числа, может быть алгебраическим числом. Тогда алгебраическое число в трансцендентной степени может дать трансцендентное число:
$$t_1 ^{t_2 }  = a \Rightarrow t_1  = a^{\frac{1}{{t_2 }}} $$
Итак, имеем трансцендентное число, представленое в виде степени c алгебраическим основанием и трансцендентным показателем. Контрпример!


vladb314,
во-первых, я не утверждал, что $$T$$ – не трансцендентное, если $$ \pi=2^T$$, a лишь высказал предположение и показал, что можно тогда разрешить, c помощью каких рассуждений. Я и сам не уверен в моей <<обратной>> теореме Гельфонда, но сформулировал (a вдруг кто-то докажет или опровергнет?)
Bo-торых, я подразумеваю в такой формулировке ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ясно что c комплексными не выйдет (пока – то мне и известен один пример, когда трансцендентное число в трансцендентной степени есть алгебраическое число, я его привёл: $$ e^{i \pi} =-1$$)
A вы – то o каком примере говорите? Я – его не знаю. Скажите, пожалуйста.
Последний раз редактировалось YURI 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
vladb314
Сообщений: 111
Зарегистрирован: 17 июл 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение vladb314 » 02 фев 2008, 19:56

YURI писал(а):Source of the post
во-первых, я не утверждал, что $$T$$ – не трансцендентное, если $$ \pi=2^T$$, a лишь высказал предположение и показал, что можно тогда разрешить, c помощью каких рассуждений. Я и сам не уверен в моей <<обратной>> теореме Гельфонда, но сформулировал (a вдруг кто-то докажет или опровергнет?)

Я понимаю, я и опроверг

YURI писал(а):Source of the post
Bo-торых, я подразумеваю в такой формулировке ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ясно что c комплексными не выйдет (пока – то мне и известен один пример, когда трансцендентное число в трансцендентной степени есть алгебраическое число, я его привёл: $$ e^{i \pi} =-1$$)
A вы – то o каком примере говорите? Я – его не знаю. Скажите, пожалуйста.

A я o своём (см. сообщение #19)
Последний раз редактировалось vladb314 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Draeden
Сообщений: 1613
Зарегистрирован: 24 ноя 2007, 21:00

иррациональность

Сообщение Draeden » 04 фев 2008, 15:34

Я приведу ещё раз те две теоремы, потому что в одной из них я допустил ошибку.

[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Gelfond–Schneider_theorem]Теорема Гельфонда[/url] Если $$a$$ - комплексное алгебраическое число, $$b$$ - комплексное алгебраическое иррациональное число, то $$ a^b $$ трансцендентное число.

Теорема Линдемана Если $$ \alpha_1,\ldots,\alpha_n$$ алгебраические, линейно независимые над $${\mathbb Q}$$, числа, то $$e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}$$ алгебраически независимы гад полем $${\mathbb Q}$$.
Эта теорема может быть переформулирована так: если $$ \alpha_1,\ldots,\alpha_n$$ различные алгебраические числа, то $$e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n}$$ линейно независимы над полем алгебраических чисел.

Важное замечание: алгебраические числа образуют поле над операциями сложения и умножения, отсюда сразу следует, что $$ \frac 1{\pi}$$ трансцендентно.

Ещё раз повторюсь, кто знает, напишите пожалуйста теоремы аналогичные теоремы для трансцендетных чисел, ибо без них трудно доказать трансцендентность $$2^{\pi}$$.
Последний раз редактировалось Draeden 30 ноя 2019, 13:31, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Алгебра и теория чисел»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей