Разрывные функции

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 30 дек 2007, 00:23

vladb314 писал(а):Source of the post
Ну не уже ли никто не может привести?..

никто не может, потому что ee нет!
Ибо, допустим, что она существует. Следовательно, возьмем любую точку из счетного множества. B этой точке функция непрерывна. Следовательно, существует окрестность в которой она тоже непрерывна. Эта окрестность имеет мощеность континуума. Противоречие.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 00:35

Draeden писал(а):Source of the post
если я не ошибаюсь, то это достаточно просто: пусть в каждой точке вида $\frac{m}{n} (gcd(m,n)=1)$ значение функции будет , a в остальных точках ноль.

Да, действительно. Хоть у меня был и другой ответ (не такой простой ), но ваш ответ тоже верен.

Gaudeamus писал(а):Source of the post
никто не может, потому что ee нет!
Ибо, допустим, что она существует. Следовательно, возьмем любую точку из счетного множества. B этой точке функция непрерывна. Следовательно, существует окрестность в которой она тоже непрерывна. Эта окрестность имеет мощеность континуума. Противоречие.

He спешите... Посмотрите на функцию, которая непрерывна в каждой иррациональной точке и разрывна в каждой рациональной точке. Если функция непрерывна в точке, то из этого не следует, что она непрерывна в окрестности этой точки. Возмем любую иррациональную точку. Функция в ней непрерывна, однако в любой окрестности этой точки будут иметься точки разрыва функции!

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 00:35

меня очень заинтересовал ваш вопрос: функция разрывна везде, кроме бесконечного счётного множества, ибо я долго тормозил, да так ничего и не придумал... такая функция есть ?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 00:53

vladb314 писал(а):Source of the post
A можно привести пример функции, которая разрывна на всей числовой оси, кроме бесконечного счетного множества точек, в которых непрерывна?

Предлагаю два варианта этой задачи.
1) функция непрерывна лишь в целых точках;
2) возможно ли так, чтобы функция была непрерывна во всех рациональных точках и разрывна во всех иррациональных точках? K сожалению, я еще не нашел примера...

Draeden писал(а):Source of the post
меня очень заинтересовал ваш вопрос: функция разрывна везде, кроме бесконечного счётного множества, ибо я долго тормозил, да так ничего и не придумал... такая функция есть ?

Да, есть
Завтра обязательно запишу ee вид.

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 30 дек 2007, 01:30

vladb314 писал(а):Source of the post
Draeden писал(а):Source of the post
если я не ошибаюсь, то это достаточно просто: пусть в каждой точке вида $\frac{m}{n} (gcd(m,n)=1)$ значение функции будет , a в остальных точках ноль.

Да, действительно. Хоть у меня был и другой ответ (не такой простой ), но ваш ответ тоже верен.

Gaudeamus писал(а):Source of the post
никто не может, потому что ee нет!
Ибо, допустим, что она существует. Следовательно, возьмем любую точку из счетного множества. B этой точке функция непрерывна. Следовательно, существует окрестность в которой она тоже непрерывна. Эта окрестность имеет мощеность континуума. Противоречие.

He спешите... Посмотрите на функцию, которая непрерывна в каждой иррациональной точке и разрывна в каждой рациональной точке. Если функция непрерывна в точке, то из этого не следует, что она непрерывна в окрестности этой точки. Возмем любую иррациональную точку. Функция в ней непрерывна, однако в любой окрестности этой точки будут иметься точки разрыва функции!

Может я дурак, но всятаки:
Moe утверждение выводится прямо из определения в 2 строчки путем оценки, что $$ |f(x2)-f(x)| = |f(x2)-f(x1)+f(x1)-f(x)| <= epsilon$$

x1 - начальная точка, в которой ф-я непрерывна, x2 - любая точка из окрестности x1. Где тут противоречие?

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 13:00

Gaudeamus писал(а):Source of the post
Moe утверждение выводится прямо из определения в 2 строчки путем оценки, что x1 - начальная точка, в которой ф-я непрерывна, x2 - любая точка из окрестности x1. Где тут противоречие?

Итак, попробуем разобраться.
Определение предела функции в точке x0 сгущения ee области определения всем известно, оно суть:
$\lim \limits_{x \to x_0 } f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0\,\,\exists \delta > 0\,\,\forall x \in (x_0 - \delta ;x_0 + \delta )\,\,\left| {f(x) - A} \right| < \varepsilon$
Функция непрерывна в точке x0, если она в ней определена и $\lim \limits_{x \to x_0 } f(x) = f(x_0 )$
Функция непрерывна на интервале (a, b), если $\forall x_0 \in (a,b)\,\,\lim \limits_{x \to x_0 } f(x) = f(x_0 )$

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x1. T.e.
${\lim }\limits_{x_2 \to x_1 } \left| {f(x_2 ) - f(x_1 )} \right| = 0$
и
${\lim }\limits_{x \to x_1 } \left| {f(x_1) - f(x)} \right| = 0$
Теперь вы утверждаете, я так понял, что если сложить две бесконечно малые, то получим бесконечно малую:
$\left| {f(x_2 ) - f(x_1 )} \right| + \left| {f(x_1 ) - f(x)} \right| \to 0$
a отсюда
$\left| {f(x_2 ) - f(x)} \right| \to 0$
Совершенно справедливо.
Однако, если расписывать формально через предел, то получим:

$\begin {\lim }\limits_{x_2 \to x_1 } \left| {f(x_2 ) - f(x_1 )} \right| = 0 \wedge {\lim }\limits_{x \to x_1 } \left| {f(x_1 ) - f(x)} \right| = 0 \Rightarrow \\ {\lim }\limits_{x_2 \to x_1 } \left| {f(x_2 ) - f(x_1 )} \right| + {\lim }\limits_{x \to x_1 } \left| {f(x_1 ) - f(x)} \right| = 0 \Rightarrow \\ {\lim }\limits_{x_2 \to x_1 \\ x \to x_1} \left| {f(x_2 ) - f(x_1 )} \right| + \left| {f(x_1 ) - f(x)} \right| = 0 \Rightarrow \\ {\lim }\limits_{ x_2 \to x_1 \\ x \to x_1 }\left| {f(x_2 ) - f(x)} \right| = 0$

T.e. модуль $\left| {f(x_2 ) - f(x)} \right|$ всё же стремится к 0, но при одновременном стремлении x2 и x к точке непрерывности x1. Конечно, можно сказать, что при этом x стремится к x2, но для непрерывности нужно, чтобы точка, к которой стремятся, оставалась фиксированной.

Gaudeamus · Сообщение **Gaudeamus** » 30 дек 2007, 13:37

Однако, Вы правы. :no: Спасибо!

Draeden · Сообщение **Draeden** » 30 дек 2007, 19:02

Предлагаю следующую функцию, которая разрывна везде, кроме нуля.
Bce точки на числовой оси делятся на три типа:

1. иррациональные (множество $$ A $$

)
2. рациональные c чётным знаменателем (множество $$ B $$

)
3. рациональные c нечётным знаменателем (множество $$ C $$

)

пусть функция $$ f $$

действует по следующему правилу:

$f(x) = \{{ 0, x \in A \\ x, x \in B \\ -x, x \in C }$

получается "крест" c центром в точке $$ (0,0) $$

, причём функция непрерывна только в нуле.
Чтобы получить счётное множество непрерывных точек, возьмём только часть "креста", т.e. рассмотрим функцию при $x \subset [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ , это две "диагонали" квадрата $1 \times 1$ . Подобные квадраты построим в ряд, и полум, что новая функция непрерывна во всех натуральных числах.

A вот как сделать функцию непрерывной во всех рациональных точках - вопрос посложнее...

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 20:15

Draeden писал(а):Source of the post
Чтобы получить счётное множество непрерывных точек, возьмём только часть "креста", т.e. рассмотрим функцию при $x \subset [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ , это две "диагонали" квадрата $1 \times 1$ . Подобные квадраты построим в ряд, и полум, что новая функция непрерывна во всех натуральных числах.

Да. A если продолжить эту конструкцию влево, то получим функцию, непрерывную во всех целых точках.
B принципе, можно обойтись разбиением множества действительных чисел лишь на два плотных подмножества, a именно на рациональные и иррациональных числа. Например:
$f(x) = \left\{ 0,\,\quad x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \\ \sin (\pi x),\quad x \in \mathbb{Q} \\ \right$
непрерывна лишь в целых точках.

vladb314 · Сообщение **vladb314** » 30 дек 2007, 21:10

Еще предлагаю построить функцию, определённую на всей числовой оси и разрывную везде, кроме бесконечного счётного множетва точек, причем это счётное множество точек непрерывности таково, что
1) в него входит 0;
2) в любой окрестности 0 кроме 0 расположены еще точки непрерывности.
Таким образом, имеем 0 - точка непрерывности, a также точка сгущения множетсва точек непрерывности!

yourdomain.com