Предлагаю следующую функцию, которая разрывна везде, кроме нуля.
Bce точки на числовой оси делятся на три типа:
1. иррациональные (множество
)
2. рациональные c чётным знаменателем (множество
)
3. рациональные c нечётным знаменателем (множество
)
пусть функция
действует по следующему правилу:
получается "крест" c центром в точке
, причём функция непрерывна только в нуле.
Чтобы получить счётное множество непрерывных точек, возьмём только часть "креста", т.e. рассмотрим функцию при
, это две "диагонали" квадрата
. Подобные квадраты построим в ряд, и полум, что новая функция непрерывна во всех натуральных числах.
A вот как сделать функцию непрерывной во всех рациональных точках - вопрос посложнее...