Интеграл

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 25 июн 2007, 00:08

sahek писал(а):Source of the post
Vlad_K писал(а):Source of the post
Этот интеграл берется по частям: dx/x^2 -> d(1/x) и далее просто. Сводится к \int \frac{Sin(2x)}/x dx Особенностей нет и все сходится. Или есть еще что?

a разве $\frac{sin^2x}{x}|^\infty _{-\infty}$ сходится?

$\frac{sin^2x}{x}|^\infty _{-\infty}$ =< $\frac{1}{x}|^\infty _{-\infty}$
a $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}|^\infty \to 0$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 25 июн 2007, 00:23

Vlad_K писал(а):Source of the post
$\frac{sin^2x}{x}|^\infty _{-\infty}$ =< $\frac{1}{x}|^\infty _{-\infty}$
a $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}|^\infty \to 0$

Интеграл имеет особенность в нуле a не в бесконечности, так что так не катит.

$\int_{0}^{\infty}{\frac {sin^2x} {x}dx}=\int_{0}^{\pi/2}{\frac {sin^2x} {x}dx}+\int_{\pi/2}^{\infty}{\frac {sin^2x} {x}dx}$
$\int_{0}^{\pi/2}{\frac {sin^2x} {x}dx}<\int_{0}^{\pi/2}{\frac {x^2} {x}dx}=\int_{0}^{\pi/2}{xdx}<\infty$
второй интеграл также сходится, поскольку это обычный интеграл от ограниченной функции.
Таким образом, интеграл сходится

Vlad_K · Сообщение **Vlad_K** » 25 июн 2007, 21:42

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
Vlad_K писал(а):Source of the post
$\frac{sin^2x}{x}|^\infty _{-\infty}$ =< $\frac{1}{x}|^\infty _{-\infty}$
a $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}|^\infty \to 0$

Интеграл имеет особенность в нуле a не в бесконечности, так что так не катит.

$\int_{0}^{\infty}{\frac {sin^2x} {x}dx}=\int_{0}^{\pi/2}{\frac {sin^2x} {x}dx}+\int_{\pi/2}^{\infty}{\frac {sin^2x} {x}dx}$
$\int_{0}^{\pi/2}{\frac {sin^2x} {x}dx}<\int_{0}^{\pi/2}{\frac {x^2} {x}dx}=\int_{0}^{\pi/2}{xdx}<\infty$
второй интеграл также сходится, поскольку это обычный интеграл от ограниченной функции.
Таким образом, интеграл сходится

Интеграл
$\int_{\pi/2}^{\infty}\frac {sin^2x} {x}dx$
расходится. Исходный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2x}{x^2}dx$
нигде особенностей не имеет, ни в нуле (первый зам.предел)), ни при $x \to \ \infty$ . Вычисляется элементарно
$\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2x}{x^2}dx=-\int_{0}^{\infty}sin^2x d\frac{1}{x}=-\frac{sin^2 x}{x}|_0^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}\frac{sin x cos x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$

sahek · Сообщение **sahek** » 25 июн 2007, 22:05

Vlad_K писал(а):Source of the post
Интеграл
$\int_{\pi/2}^{\infty}\frac {sin^2x} {x}dx$
расходится. Исходный интеграл
$\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2x}{x^2}dx$
нигде особенностей не имеет, ни в нуле (первый зам.предел), ни при $x \to \infty$ . Вычисляется элементарно
$\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2x}{x^2}dx=-\int_{0}^{\infty}sin^2x d\frac{1}{x}=-\frac{sin^2 x}{x}|_0^{\infty}+2\int_{0}^{\infty}\frac{sin x cos x}{x}dx$

Ну вообще то первый замечательный предел ведь равен единице, и его знаменателе стоит не квадрат синуса, a просто синус. Кроме того на бесконечности данное отношение стремится к 0, поэтому первое слагаемое равно единице. B общем, мне непонятно ваше решение.

и должно быть

Vlad_K писал(а):Source of the post
$\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2x}{x^2}dx=-\int_{0}^{\infty}sin^2x d\frac{1}{x}=-\frac{sin^2 x}{x}|_0^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\frac{sin x cos x}{x}dx = \frac{\pi}{2}$

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 26 июн 2007, 00:36

Vlad_K да, походу вы правы..
Что делать, старею

sahek
Он использовал известный факт что $\int_{0}^{\infty}{\frac {sin(x)} {x}dx}=\frac {\pi} {2}$

$\int_{0}^{\infty}{\frac {sinxcosx} {x}dx}=1/2\int_{0}^{\infty}{\frac {sin2x} {2x}d2x}=\frac {\pi} {4}$

sahek · Сообщение **sahek** » 26 июн 2007, 00:48

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
$\int_{0}^{\infty}{\frac {sinxcosx} {x}dx}=1/2\int_{0}^{\infty}{\frac {sin2x} {2x}d2x}=\frac {\pi} {4}$

Ну тогда это в два раза меньше, чем должно быть.

Кроме того, разве $-\frac{sin^2 x}{x}|_0^{\infty}=0$ ?

Natrix · Сообщение **Natrix** » 26 июн 2007, 09:51

sahek писал(а):Source of the post
a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
$\int_{0}^{\infty}{\frac {sinxcosx} {x}dx}=1/2\int_{0}^{\infty}{\frac {sin2x} {2x}d2x}=\frac {\pi} {4}$

Ну тогда это в два раза меньше, чем должно быть.

Кроме того, разве $-\frac{sin^2 x}{x}|_0^{\infty}=0$ ?

Да.

${\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sin ^2 x}}{x} = 0$
Это очевидно. Числитель ограничен, a знаменатель неограниченно растет.

${\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ^2 x}}{x} ={\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right){\lim }\limits_{x \to 0} \sin x = 1 * 0=0$
Тут тоже все просто

yourdomain.com