Доказать, что хотя бы одно из
Три числа c условиями делимости.
Три числа c условиями делимости.
Пусть
- положительные целые и
![$$x | y+z+yz$$ $$x | y+z+yz$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%20%7C%20y%2Bz%2Byz%24%24)
![$$y | z+x+zx$$ $$y | z+x+zx$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24y%20%7C%20z%2Bx%2Bzx%24%24)
![$$z | x+y+xy$$ $$z | x+y+xy$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24z%20%7C%20x%2By%2Bxy%24%24)
Доказать, что хотя бы одно из
составное.
Доказать, что хотя бы одно из
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
насколько я понимаю тут написано x делит следующее за вертикальной чертой?
Последний раз редактировалось Pavlukhin 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Пусть- положительные целые и
Доказать, что хотя бы одно изсоставное.
Предположим, что x и y - различные простые числа и положим
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что
Аналогично, домножив второе равенство на c и перейдя к сравнениям по y получим
Это возможно, только если
B частности, мы показали, что если числа x, y, z различны, то не менее двух из них составные.
Если же x = y = p, то из первого равенства получаем
Значит, либо
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
AV_77 писал(а):Source of the post
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что.
У меня получилось:
откуда
Однако должен сказать, что c условием и сам прокосячил на единице - это и не простое и не составное. Можно изменить вопрос таким образом, что все три не могут быть простыми, но лучше сформулировать чуть шире:
Найти попарно взаимно простые натуральные числа
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the postAV_77 писал(а):Source of the post
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что.
У меня получилось:,
откуда.
Это верно. Забыл умножить правую часть.
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
Мм-м-м, может быть уже стоит подсказать первый ход? Он самый важный, хотя и очень простой.
Остальное - это уже дожимание ... - совсем короткое, если задуматься.
Остальное - это уже дожимание ... - совсем короткое, если задуматься.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Можно изменить вопрос таким образом, что все три не могут быть простыми, но лучше сформулировать чуть шире:
Найти попарно взаимно простые натуральные числа, удовлетворяющие сравнениям:
Ввиду того, что ничего не оговорено про 1, то в качестве чисел
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
alexpro писал(а):Source of the post
Ввиду того, что ничего не оговорено про 1, то в качестве чиселможно взять соответственно числа 1, 3, 7.
Упс.
1, 3, 7 (и разумеется их перестановки) принимаются. A ещё есть?
Редактирую ещё раз:
Найти все тройки различных попарно взаимно простых натуральных чисел
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Найти все тройки различных попарно взаимно простых натуральных чиселудовлетворяющих сравнениям:
Пусть
Рассмотрим сначала случай
Так как
Итак, одной такой тройкой является
Легко проверяется, что случай
Рассмотрим случай
Из сравнения
следует, что
при некотором целом
Если
что противоречит предположению (*).
Если
откуда следует, что
Если же
следует, что
Значит,
Умножим сравнения
на
C учетом замечания (**) имеем из первого сравнения
и, аналогично, из второго сравнения
Так как
Это означает, что
Учитывая, что
или
Ho тогда
Итак, единственной тройкой, удовлетворяющей всем условиям, является тройка
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
Добил-таки. +1.
Своё решение пока подожду выкладывать, может быть ещё кто соблазнится.
Своё решение пока подожду выкладывать, может быть ещё кто соблазнится.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 6 гостей