Пусть - положительные целые и
Доказать, что хотя бы одно из составное.
Три числа c условиями делимости.
Три числа c условиями делимости.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
насколько я понимаю тут написано x делит следующее за вертикальной чертой?
Последний раз редактировалось Pavlukhin 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Пусть - положительные целые и
Доказать, что хотя бы одно из составное.
Предположим, что x и y - различные простые числа и положим
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что .
Аналогично, домножив второе равенство на c и перейдя к сравнениям по y получим
.
Это возможно, только если , что противоречит предположению.
B частности, мы показали, что если числа x, y, z различны, то не менее двух из них составные.
Если же x = y = p, то из первого равенства получаем
, т.e. .
Значит, либо и тогда - простое число, либо число составное.
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
AV_77 писал(а):Source of the post
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что .
У меня получилось:
,
откуда .
Однако должен сказать, что c условием и сам прокосячил на единице - это и не простое и не составное. Можно изменить вопрос таким образом, что все три не могут быть простыми, но лучше сформулировать чуть шире:
Найти попарно взаимно простые натуральные числа , удовлетворяющие сравнениям:
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the postAV_77 писал(а):Source of the post
Домножим первое равенство на c и перейдем к сравнениям по модулю x. Получим
Отсюда следует, что .
У меня получилось:
,
откуда .
Это верно. Забыл умножить правую часть.
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
Мм-м-м, может быть уже стоит подсказать первый ход? Он самый важный, хотя и очень простой.
Остальное - это уже дожимание ... - совсем короткое, если задуматься.
Остальное - это уже дожимание ... - совсем короткое, если задуматься.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Можно изменить вопрос таким образом, что все три не могут быть простыми, но лучше сформулировать чуть шире:
Найти попарно взаимно простые натуральные числа , удовлетворяющие сравнениям:
Ввиду того, что ничего не оговорено про 1, то в качестве чисел можно взять соответственно числа 1, 3, 7.
Последний раз редактировалось alexpro 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
alexpro писал(а):Source of the post
Ввиду того, что ничего не оговорено про 1, то в качестве чисел можно взять соответственно числа 1, 3, 7.
Упс.
1, 3, 7 (и разумеется их перестановки) принимаются. A ещё есть?
Редактирую ещё раз:
Найти все тройки различных попарно взаимно простых натуральных чисел удовлетворяющих сравнениям:
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
bot писал(а):Source of the post
Найти все тройки различных попарно взаимно простых натуральных чисел удовлетворяющих сравнениям:
Пусть - такая тройка.
Рассмотрим сначала случай . Тогда
.
Так как , то . Следовательно, из первого сравнения следует, что . Подставляя это во второе сравнение, легко получаем, что .
Итак, одной такой тройкой является .
Легко проверяется, что случай невозможен. Более того, невозможен случай, когда одно из чисел является четным: если, скажем, - четно, то - нечетны и сравнение выполняться не может (слева нечетное число, a справа - четное).
Рассмотрим случай - нечетное число.
Из сравнения
следует, что
(*)
при некотором целом .
Если , то
,
что противоречит предположению (*).
Если , то получаем
,
откуда следует, что , что невозможно.
Если же , то из
следует, что , что противоречит условию.
Значит, . Заметим, что
(**)
Умножим сравнения
на . Получим
C учетом замечания (**) имеем из первого сравнения
и, аналогично, из второго сравнения
.
Так как , то .
Это означает, что . Тогда
.
Учитывая, что , получаем отсюда
или
.
Ho тогда
- противеречие c условием.
Итак, единственной тройкой, удовлетворяющей всем условиям, является тройка .
Последний раз редактировалось AV_77 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Три числа c условиями делимости.
Добил-таки. +1.
Своё решение пока подожду выкладывать, может быть ещё кто соблазнится.
Своё решение пока подожду выкладывать, может быть ещё кто соблазнится.
Последний раз редактировалось bot 30 ноя 2019, 14:39, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test
Причина: test
Вернуться в «Алгебра и теория чисел»
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей