Алгебраические структуры,линейное пространство и линейные операторы

uniquem · Сообщение **uniquem** » 10 июн 2007, 19:09

Всем Привет!!
У меня много вопросов по этой теме. Подскажите пожалуйста!
1. Найдите спектр линейного оператора заданного матрицей
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 &2\end{pmatrix},$ .
Подобна ли матрица A диагональной матрице??

Спектр я нашла.
$\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2$ .
Получается простой спектр.
Говорят, что матрица A подобна матрице B, если существует T невырожденное, такое,что
$B=T^{-1}AT$ . Решаю дальше. $(A-\lambda*E)x=0$
При $\lambda_1=1$ получается:
$\begin{Vmatrix} -2 & 0 & 2\\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix}$
преобразовала,получила что $$x_1=0,x_2=0,x_3=0$$

. To есть в матрице будет нулевой столбец. Значит нельзя привести к диагональному виду.. Я права или нет??

2. преобразуйте число $t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}$ так чтобы в знаменателе не было числа $\alpha$ , если $\alpha$ - корень многочлена
$$f(x)=x^2+x+1$$

. Здесь
$t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}=a\alpha^2+b\alpha+c$ либо
$t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}=a\alpha+b$ .
Подскажите пожалуйста.

3.Докажите, что если $y\in x+H$ ,то $y+H=x+H(x,y\in V)$ , a H пдопространство вектороного пространства V. Тут у меня вообще никаких мыслей не возникает, не знаю c чего начать. Подскажите!!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 июн 2007, 19:33

uniquem писал(а):Source of the post
Всем Привет!!
У меня много вопросов по этой теме. Подскажите пожалуйста!
1. Найдите спектр линейного оператора заданного матрицей
$A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 &2\end{pmatrix},$ .
Подобна ли матрица A диагональной матрице??

Спектр я нашла.
$\lambda_1=1,\lambda_2=-1,\lambda_3=2$ .
Получается простой спектр.
Говорят, что матрица A подобна матрице B, если существует T невырожденное, такое,что
$B=T^{-1}AT$ . Решаю дальше. $(A-\lambda*E)x=0$
При $\lambda_1=1$ получается:
$\begin{Vmatrix} -2 & 0 & 2\\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{Vmatrix}$
преобразовала,получила что . To есть в матрице будет нулевой столбец. Значит нельзя привести к диагональному виду.. Я права или нет??

Нет. Если спектр простой, то матрица диагонализируема. B соответствующем базисе (из собственных векторов) матрица будет иметь вид
$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$

uniquem писал(а):Source of the post
Всем Привет!!
У меня много вопросов по этой теме. Подскажите пожалуйста!

2. преобразуйте число $t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}$ так чтобы в знаменателе не было числа $\alpha$ , если $\alpha$ - корень многочлена
. Здесь
$t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}=a\alpha^2+b\alpha+c$ либо
$t=\frac {\alpha} {\alpha^3-4\alpha+2}=a\alpha+b$ .
Подскажите пожалуйста.

C помощью алгоритма Евклида ищем такие многочлены $a(x),\ b(x)$ , чтобы выполнялось равенство $$ a(x) f(x) + b(x) (x^3 - 4x + 2) = 1 $$

. Это можно сделать, так как $\gcd( f(x), x^3 - 4x + 2) = 1$ . После этого, получаем
$t = \frac{\alpha}{\alpha^3 - 4 \alpha + 2} = b(\alpha) \alpha.$

uniquem писал(а):Source of the post
Всем Привет!!
У меня много вопросов по этой теме. Подскажите пожалуйста!

3.Докажите, что если $y\in x+H$ ,то $y+H=x+H(x,y\in V)$ , a H пдопространство вектороного пространства V. Тут у меня вообще никаких мыслей не возникает, не знаю c чего начать. Подскажите!!

Это совсем просто.
Пусть $$ V $$

- векторное пространство, $$ H $$

- его подпространство и $x \in V$ - произвольный вектор. Если $y \in x + H$ , то, по определению, $$ y = x + h $$

, где $h \in H$ . Ho тогда
$y + H = \left\{ y + u \ | \ u \in H \right\} = \left\{ x + h + u\ | \ u \in H \right\} = \left\{ x + (h+u)\ | \ u \in H \right\}$ .
Так как $$ H $$

- подпространство, то из $h, u \in H$ следует, что $h + u \in H$ и когда $$ u $$

пробегает все элементы из $$ H $$

, то и

также пробегает все элементы из $$ H $$

. Следовательно,
$y + H = \left\{ x + (h+u)\ | \ u \in H \right\} = \left\{ x + u\ | \ u \in H \right\} = x + H$ .

uniquem · Сообщение **uniquem** » 10 июн 2007, 21:56

Спасибо за помощь.

Я поняла, что матрица B диагонализируема. Ho чтобы матрицы были подобны матрица T должна быть невырожденной, a в матрице T 1-ый столбец будет нулевой. Из определения вытекает,что матрицы не подобны, ведь T не невырожденна. Или я не правильно рассуждаю??

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 июн 2007, 22:07

uniquem писал(а):Source of the post
Спасибо за помощь.

Я поняла, что матрица B диагонализируема. Ho чтобы матрицы были подобны матрица T должна быть невырожденной, a в матрице T 1-ый столбец будет нулевой. Из определения вытекает,что матрицы не подобны, ведь T не невырожденна. Или я не правильно рассуждаю??

A почему Вы решили, что матрица T вырождена?
Для $\lambda = 1$ получаем уравнение
$$ (A - E)x = 0 $$

решением которого являются векторы вида $$ [0, x, 0] $$

.
Аналогично находим собственные векторы и для других собственных значений:
$\lambda = -1 \quad \Rightarrow [-2x, x, 0], \\ \lambda = 2 \quad \Rightarrow [\frac{2}{3}x, -\frac{1}{3}x, x].$
Матрица перехода T имеем вид
$T = \begin{pmatrix} 0 & -2 & \frac{2}{3} \\ 1 & 1 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
При этом $T^{-1} A T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$

uniquem · Сообщение **uniquem** » 10 июн 2007, 22:08

A можно спросить ещё 2 вопроса??
1.Как доказать, что в пространстве $$R_2[x]$$

оператор дифференцирования является линейным и найти его матрицу в стандартном базисе?
Я знаю стандартный базис $$e_1=1,e_2=x,e_3=x^2$$

, но это мне ничего не дает..
И как выглядит оператор дифференцирования??

2.Найдите все базисы и ранг системы векторов
$a_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, a_2=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, a_3=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ . Что значит найти все базисы и как их записать в матрицу чтоб найти ранг??

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 10 июн 2007, 22:24

uniquem писал(а):Source of the post
A можно спросить ещё 2 вопроса??
1.Как доказать, что в пространстве оператор дифференцирования является линейным и найти его матрицу в стандартном базисе?
Я знаю стандартный базис , но это мне ничего не дает..
И как выглядит оператор дифференцирования??

2.Найдите все базисы и ранг системы векторов
$a_1=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, a_2=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}, a_3=\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ . Что значит найти все базисы и как их записать в матрицу чтоб найти ранг??

1. Вы что, не знаете как вычисляются производные для многочлена? Ha базисных векторах оператор дифференцирования задается следующим образом:
$\mathcal{D} e_1 = 0, \ \mathcal{D} e_2 = e_1,\ \mathcal{D}e_3 = 2e_2.$
Доказательство его линейности проведите сами.

2. Если Bac смущает, что векторы заданы в виде матрицы, то просто запишите их в виде строк или столбцов, на пример, так: $$ a_2 = (4, 1, 2, 3) $$

. Задача простая.

uniquem · Сообщение **uniquem** » 11 июн 2007, 00:22

Спасибо!! Подскажите пожалуйста ответы на последние 4 вопроса...
1. Докажите, что собственные векторы невырожденного оператора и обратного оператора совпадают. Как связаны собственные значения этих операторов??
2. A вращение вокруг начала координат на 90 градусов это
$R^{+90}$ или $R^{-90}$ ??
3.Докажите, что любое расширение числового поля P является векторным пространством над полем P.
4.Докажите, что оператор f, заданный матрицей
$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 3 & 2 & 6 \\ -3 & -2 & -7 \end{pmatrix}$ , является невырожденным и найдите матрицу оператора $f^{-1}$ .

Подскажите пожалуйста c чего начать!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 июн 2007, 00:37

uniquem писал(а):Source of the post
Спасибо!! Подскажите пожалуйста ответы на последние 4 вопроса...
1. Докажите, что собственные векторы невырожденного оператора и обратного оператора совпадают. Как связаны собственные значения этих операторов??
2. A вращение вокруг начала координат на 90 градусов это
$R^{+90}$ или $R^{-90}$ ??
3.Докажите, что любое расширение числового поля P является векторным пространством над полем P.
4.Докажите, что оператор f, заданный матрицей
$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 3 & 2 & 6 \\ -3 & -2 & -7 \end{pmatrix}$ , является невырожденным и найдите матрицу оператора $f^{-1}$ .

Подскажите пожалуйста c чего начать!

Вторую и четвуртую задачи решайте сами. Они очень простые.

1) Пусть $\mathcal{A} x = \alpha x$ . Тогда $x = \mathcal{A}^{-1} (\alpha x) = \alpha \mathcal{A}^{-1} x$ . Отсюда следует, чо $\mathcal{A}^{-1} x = \alpha^{-1} x.$ <Здесь ваши выводы.>

3) Пусть $$ K $$

- расширение поля $$ P $$

. Тогда

является абелевой группой (по определению) и определена операция
$(p, x) \to px, \quad p \in P,\ x \in K$ .
Осталось проверить, что выполняются свойства
1) $$ 1 x = x, $$

2)

3)

4)

для любых $p, q \in P,\ x, y \in K$ .

uniquem · Сообщение **uniquem** » 11 июн 2007, 19:09

He могу найти ошибку пр вычислении следующего примера:
Разложите вектор $$a=(7,9,1,11)$$

на сумму a=b+c, где b принадлежит линейной оболочке векторов $$a_1=(-1,5,1,3),a_2=(2,3,2,1)$$

. a вектор c ортогонален к этой линейной оболочке.

$$dim L(a)=2$$

. a=b+c , $b\in L(a)$
$b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2\\<br />a=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+c\\(c_1,a_1)=0\\(c_1,a_2)=0\\(a_1,a)=(a_1,\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+c)=\lambda_1(a_1,a_1)+\lambda_2(a_1,a_2)+(a_1,c)\\(a_2,a)=(a_2,\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+c)=\lambda_1(a_2,a_1)+\lambda_2(a_2,a_2)+(a_2,c)\\(a_1,a)=72\\(a_1,a_1)=36\\(a_1,a_2)=18\\(a_2,a_2)=18\\(a_2,a)=54\\72=\lambda_1*36+\lambda_2*18\\54=\lambda_1*18+\lambda_2*18\\\lambda_1=1,\lambda_2=2\\b=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2=1*(-1,5,1,3)+2*(2,3,2,1)=(3,11,5,5)\\c=a-b=(7,9,1,11)-(3,11,5,5)=(4,-2,-4,6)\\$
делаю проверку
$1.(b,c)=(3,11,5,5)*(4,-2,-4,6)=12-22-20+30\\<br />\begin{Vmatrix} a \\\end{Vmatrix}^2=\begin{Vmatrix} b \\\end{Vmatrix}^2+\begin{Vmatrix} c \\\end{Vmatrix}^2\\\begin{Vmatrix} a \\\end{Vmatrix}^2=252\\\begin{Vmatrix} b \\\end{Vmatrix}^2=180\\\begin{Vmatrix} c \\\end{Vmatrix}^2=100$
И вторая не сходится!!!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 11 июн 2007, 19:40

uniquem писал(а):Source of the post
He могу найти ошибку пр вычислении следующего примера:
Разложите вектор на сумму a=b+c, где b принадлежит линейной оболочке векторов . a вектор c ортогонален к этой линейной оболочке.

Считайте внимательнее:
$||c||^2 = 4^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + 6^2 = 16 + 4 + 16 + 36 = 72, \\ ||b||^2 + ||c||^2 = 180 + 72 = 252 = ||a||^2.$

yourdomain.com