Система диофантовых уравнений

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 21 янв 2016, 20:05

Здраствуйте. Подскажите, пожалуста, как решить такую систему в целых числах?
$$x^2=y+3$$

Ничего у меня не получается.

12d3 · Сообщение **12d3** » 22 янв 2016, 10:59

Сведите систему к одному уравнению относительно одной переменной, просто подстановкой переменных из других уравнений. Получится алгебраическое уравнение восьмой степени. Честно его решить вряд ли получится, но нам-то надо найти только целые корни. А целые корни являются делителями свободного члена (как сплюсом, так и с минусом). Поэтому вам надо будет перебрать все делители свободного члена и проверить, являются ли они корнями.

TR63 · Сообщение **TR63** » 22 янв 2016, 11:22

Если сложить эти три уравнения, сгруппировать, то получится выражение, которое строго больше нуля...

mersenne · Сообщение **mersenne** » 22 янв 2016, 11:23

z>=17 z^2>=289 z^2-7>=282
x>=282 x^2>=79524 x^2-3>=79521
y>=79521 y^2>=6323589441 y^2+17>=6323589458
z>=6323589458 и т.д

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 23 янв 2016, 08:35

TR63 писал(а):Source of the post Если сложить эти три уравнения, сгруппировать, то получится выражение, которое строго больше нуля...

И что из этого следует? Не догоняю. Как вообще решать?

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 23 янв 2016, 11:24

12d3 писал(а):Source of the post Сведите систему к одному уравнению относительно одной переменной, просто подстановкой переменных из других уравнений. Получится алгебраическое уравнение восьмой степени. Честно его решить вряд ли получится, но нам-то надо найти только целые корни. А целые корни являются делителями свободного члена (как сплюсом, так и с минусом). Поэтому вам надо будет перебрать все делители свободного члена и проверить, являются ли они корнями.

12d3, я попробовала сделать по Вашему совету, промучилась 2 дня, но ничего не получилось. Если нетрудно, распишите хотя бы начало.

TR63 · Сообщение **TR63** » 23 янв 2016, 12:47

Например, такое уравнение $$x^2+x+1=0$$

в натуральных числах (или, даже, в действительных) сможете решить?
(О методе от противного что-нибудь слышали?)
Можно использовать метод подстановки, который Вам предложили. Но тогда выпишите это уравнение восьмой степени. Кстати, если Вам затруднительно раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, то можно воспользоваться вольфрамом. Он это делает мгновенно.

GEPIDIUM · Сообщение **GEPIDIUM** » 24 янв 2016, 15:47

TR63 писал(а):Source of the post Например, такое уравнение в натуральных числах (или, даже, в действительных) сможете решить?
(О методе от противного что-нибудь слышали?)

TR63, понятно, что это уравнение неразрешимо. А причём здесь метод от противного? Если нетрудно, помогите не намёками, а реально. Что, моя система несовместна? Почему?
Я по Вашему совету сложила все 3 уравнения: $$x^2+y^2+z^2-x-y-z+7=0$$

. Преобразовывала это выражение по всякому, но не видно, что левая часть строго больше нуля. И до 8-й степени доходила, и показала эти свои выкладки преподавателю. Она только улыбнулась и сказала, что всё намного проще и не надо усложнять.

TR63 · Сообщение **TR63** » 24 янв 2016, 19:07

Метод от противного. Поскольку для данной системы неизвестно, существует ли решение, то без разницы, какую задачу решать: о существовании или о несуществовании решения. Будем решать задачу: доказать, что система не имеет решения в целых числах. Применим метод от противного. Допустим, что система имеет решение. Тогда должно выполняться условие:
$$(x^2-x+2)+(y^2-y+2)+...$$

Продолжать?

ARRY · Сообщение **ARRY** » 24 янв 2016, 22:15

TR63 писал(а):Source of the post Поскольку для данной системы неизвестно, существует ли решение, то без разницы, какую задачу решать: о существовании или о несуществовании решения. Будем решать задачу: доказать, что система не имеет решения в целых числах. Применим метод от противного. Допустим, что система имеет решение.

TR63, всё правильно, левая часть тождественно положительна. Но обосновали Вы своё решение, на мой взгляд, неверно. Вы априори не знаете, совместна ли данная система или нет, но тем не менее применяете метод от противного. А вдруг Вы его применяете для доказательства ложного утверждения? Года полтора-два назад здесь на форуме был на эту тему спор, что будет, если методом исключённого третьего доказывать заведомо ложное утверждение. Я не нашёл этой темы, поэтому просто приведу выдержку из старой, 1947 года, книги Гильберта и Аккермана "Basic principles of theoretical logic":

What will be if we'll try to proof a proposition false a priori by contradiction method?An answer is unexpected - nothing! In consequence we won't come to contradiction. And we won't be successful to get any conclusion about truth or false of initial proposition.

В данном случае всё срослось, но в принципе это, по-моему, ма-а-а-ленький мухлёж.

GEPIDIUM писал(а):Source of the post показала эти свои выкладки преподавателю. Она только улыбнулась и сказала, что всё намного проще и не надо усложнять.

GEPIDIUM, я, кажется, понял, почему она так сказала. Ведь то, что данная система несовместна, видно невооружённым глазом без всяких упрощений и группировок. Взгляните на исходную систему. Предположим, что $$x$$

чётно. Но тогда из 1-го уравнения видно, что $$y$$

нечётно. А из 2-го уравнения следует, что $$z$$

чётно. Но тогда из 3-го уравнения видно, что $$x$$

нечётно. Пришли к противоречию - $$x$$

не может быть чётным.
Предположим теперь, что $$x$$

нечётно. Но тогда из 1-го уравнения видно, что $$y$$

чётно. А из 2-го уравнения следует, что $$z$$

нечётно. Но тогда из 3-го уравнения видно, что $$x$$

чётно. Приходим к противоречию - $$x$$

не может быть нечётным. А поскольку $$x$$

- целое, но ни чётное, ни нечётное, то решений нет, система несовместна.

GEPIDIUM писал(а):Source of the post Если нетрудно, помогите не намёками, а реально.

А вот тут я с Вами, GEPIDIUM, полностью согласен. Эта тема уже поднималась несколько раз. И folk, и Ian, и я выступали за коренное изменение правил форума на противоположные, но администрации и раньше было по барабану, а сейчас-то и подавно...Вот только некоторые выдержки из тех тем, которые я нашёл.

folk писал(а):Source of the post Человек пишет помогите погибаю, ничего не понимаю, а первые два ответа: дружочек набери ка в техе а ты сам как думаешь Причем уходит на это дня два примерно. То что выглядит как снобизм, снобизмом и называю независимо от причин.

Ian писал(а):Source of the post Фолк, если я прямым текстом скажу, против будут все. Просто такие люди тут собрались. Правила тематических форумов поменять на противоположные по смыслу, неполные решения и туманные намеки удалять, авторов штрафовать рублем/гривной/теньгушкой, оставлять только полные и безупречные. Всех старожилов забанить, они уже сбили себе руку этими правилами, вот помните Михаила М.- кроме его первых 20 постов остальная тысяча уже не несла в себе никаких математических идей, а так перспективно начинал но быстро понял с кем тут столкнулся и увял И накопится замечательный контент типа проблемс.ру. А за ним придут замечательные трудолюбивые интересные люди, чьи мысли не скучно читать. Кстати с дхду тоже не жалко так же поступить, надо им это предложить)

Своих комментов не нашёл, найду - выложу. Повторю в стопицотый раз - туманные намёки и неполные решения недопустимы. Знаешь - помоги. Не знаешь - даже не начинай. Кто со мной согласен?

yourdomain.com