Задача.
Дана изолированная система двух материальных точек, с массами
и
, взаимодействующих по закону
. Найти закон движения этих точек при заданных начальных условиях движения.
Начальные условия движения: в момент времени
система имеет кинетический момент
и расстояние между материальными точками
.
Предварительные соображения.
1. Выражение
это не сила, это модуль одинаковых по модулю сил взаимодействия, обусловленных действием восстанавливающей силы, и направленных в противоположные стороны. Знак минус в правой части говорит о том, что силы взаимодействия направлены к центру.
2. Движение рассматривается в ИСО, начало которой совпадает с ц.м. системы, а оси не вращаются в инерциальном пространстве (относительно "неподвижных" звёзд).
3. Поскольку система изолирована, то внешние силы и моменты внешних сил равны нулю, при этом вектор кинетического момента
изменяться не может, поэтому
Положение точек можно определить двумя радиус-векторами
и
, проведёнными из центра масс
. Поскольку
-ц.м., то:
Дифференцируя (1) два раза, получим:
Равенство (2) выражает закон сохранения количества движения для изолированной системы.
Равенство (3) говорит о том, что сила действия равна и противоположно направлена силе противодействия. Это справедливо только для ц.м. системы (радиус-векторы проведены из ц.м.).
Векторы
и
лежат на прямой, проходящей через точки
и ц.м.
Векторы
и
лежат на этой же прямой, поскольку это силы взаимодействия и их линии действия проходят через ц.м.
Векторы
и
коллинеарные потому, что их векторная сумма равна нулю (2) и лежат в плоскости содержащей точки
.
Следовательно, все это векторы лежат в одной плоскости - плоскости движения. Эта плоскость нормальна вектору
, это следует из следующего векторного равенства:
Эта плоскость нормальна вектору
и не поворачивается в пространстве.
Будут ли возражения или вопросы: