Анику про механику

Anik · Сообщение **Anik** » 19 фев 2014, 15:55

Рубен писал(а):Source of the post
Вы понимаете, что мы говорим о вращении двух масс на пружине в невесомости?
Не знаю, о чем там говорите вы, но я отвечал на вопрос Таланова, в котором пружинка вращалась возле неподвижной точки, а вы влезли и теперь нагло меняете модель. Впрочем, это на вас так похоже , что я не удивляюсь. Вы регулярно так делаете.
Здесь на пружину с двух концов действует вес шариков (или вес шариков - это некорректное выражение?).
Если два шарика на пружинке, то да - с двух сторон пружинку растягивает вес каждого шарика.

Ну вот наконец-то.
Простите за недоразумение по моей вине. В дальнейшем будем рассматривать вращение двух шариков на пружине и не менять модель без обоюдного согласия.

Вот здесь понятно и направление весов (или всё-таки сил веса?), они направлены от центра. И маленькое уточнение: это всё рассматривается в ИСО?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 19 фев 2014, 15:58

Anik писал(а):Source of the post Вот здесь понятно и направление весов (или всё-таки сил веса?)

Рубен писал(а):Source of the post Сила веса - это тавтология.

Anik писал(а):Source of the post И маленькое уточнение: это всё рассматривается в ИСО?

Рубен писал(а):Source of the post Сейчас мы всё считаем в ИСО.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 19 фев 2014, 16:02

Anik писал(а):Source of the post весов (или всё-таки сил веса?)

Вес - это такая сила. Силы веса - некорректное выражение (какая ешё сила у силы?)

Anik · Сообщение **Anik** » 19 фев 2014, 16:31

Вот теперь, обратим внимание на пружину.
Будем рассматривать невесомую пропорциональную (подчиняющуюся закону Гука) пружину с нулевой начальной длиной. Жесткость такой пружины постоянна и равна $$k$$

. Это даёт возможность рассмотреть движение шариков под действием центральной восстанавливающей силы.
Я раньше пытался рассматривать пропорциональную пружину с ненулевой начальной длиной, но приходил почему-то к кубичному уравнению (для системы двух шариков), поэтому примем первоначальный вариант с центральной восстанавливающей силой.

Я планирую составить и решить уравнения движения для частного случая - равномерное вращение по окружности. Будут ли возражения?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 19 фев 2014, 16:41

Anik писал(а):Source of the post Я планирую составить и решить уравнения движения для частного случая - равномерное вращение по окружности.

Только непонятно что там решать, если движение вы уже задали, чем по сути сразу дали ответ.

Anik писал(а):Source of the post Будут ли возражения?

Ваша тема - решайте что хотите.Но к разговору о силах инерции это не имеет отношения. Главное, что вы разобрались с тем, что на что действует.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 19 фев 2014, 20:18

Anik писал(а):Source of the post
Это даёт возможность рассмотреть движение шариков

Может пора уже заменить шарики зана ролики?
Чтоб не получились - молчи Вовочка, а то ты всю Библию нх переведешь. ©

Anik писал(а):Source of the post
Я планирую составить и решить уравнения движения для частного случая - равномерное вращение по окружности. Будут ли возражения?

Не будут, если это будут дифуры.
Аник, шоб шарики с пружинкой не только вращались, но и пульсировали. Заметано?

Anik · Сообщение **Anik** » 20 фев 2014, 11:20

Задача.
Дана изолированная система двух материальных точек, с массами $$m_1$$

и

, взаимодействующих по закону $F_{12}=-kS$ . Найти закон движения этих точек при заданных начальных условиях движения.
Начальные условия движения: в момент времени $$t_0$$

система имеет кинетический момент $\vec H_0$ и расстояние между материальными точками $$S_0$$

.

Предварительные соображения.
1. Выражение $F_{12}$ это не сила, это модуль одинаковых по модулю сил взаимодействия, обусловленных действием восстанавливающей силы, и направленных в противоположные стороны. Знак минус в правой части говорит о том, что силы взаимодействия направлены к центру.
2. Движение рассматривается в ИСО, начало которой совпадает с ц.м. системы, а оси не вращаются в инерциальном пространстве (относительно "неподвижных" звёзд).
3. Поскольку система изолирована, то внешние силы и моменты внешних сил равны нулю, при этом вектор кинетического момента $\vec H_0$ изменяться не может, поэтому $\vec H_0=\vec H=const$

Положение точек можно определить двумя радиус-векторами $$R_1$$

и

, проведёнными из центра масс $$c$$

. Поскольку $$c$$

-ц.м., то:
$m_1\vec R_1+m_2\vec R_2=0$ $$(1)$$

Дифференцируя (1) два раза, получим:
$m_1\dot{\vec {R_1}}+m_2\dot{\vec{R_2}}=0$ $$(2)$$

$m_1\ddot{\vec{R_1}}+m_2\ddot{\vec{R_2}}=0$ $$(3)$$

Равенство (2) выражает закон сохранения количества движения для изолированной системы.
Равенство (3) говорит о том, что сила действия равна и противоположно направлена силе противодействия. Это справедливо только для ц.м. системы (радиус-векторы проведены из ц.м.).

Векторы $m_1\vec R_1$ и $m_2\vec R_2$ лежат на прямой, проходящей через точки $$m_1, m_2$$

и ц.м.
Векторы $m_1\ddot{\vec{R_1}}$ и $m_2\ddot{\vec{R_2}}$ лежат на этой же прямой, поскольку это силы взаимодействия и их линии действия проходят через ц.м.
Векторы $m_1\dot{\vec{R_1}}$ и $m_2\dot{\vec{R_2}}$ коллинеарные потому, что их векторная сумма равна нулю (2) и лежат в плоскости содержащей точки $$m_1,m_2$$

.
Следовательно, все это векторы лежат в одной плоскости - плоскости движения. Эта плоскость нормальна вектору $\vec H$ , это следует из следующего векторного равенства:
$\vec H=\vec H_1+\vec H_2=\vec R_1\times m_1\dot{\vec{R_1}}+\vec R_2\times m_2\dot{\vec {R_2}}$ $$(4)$$

Эта плоскость нормальна вектору $\vec H$ и не поворачивается в пространстве.

Будут ли возражения или вопросы:

Рубен · Сообщение **Рубен** » 20 фев 2014, 11:32

Пока нормально.

Anik · Сообщение **Anik** » 21 фев 2014, 09:25

Теперь, нам нужно корректно перейти от задачи движения двух точек, к задаче движения одной точки.
Это важно сделать для того, чтобы законы движения для точек $$m_1$$

и

были согласованы между собой, как в единой системе движения двух точек.
Нужно выразить радиусы $$R_1, R_2$$

и кинетические моменты $$H_1,H_2$$

через $S_{12}$ и $$H$$

.
$\displaystyle \begin{cases} m_1R_1-m_2R_2=0\qquad R_1=\frac{m_2S_{12}}{m_1+m_2} \\ R_1+R_2=S_{12}\qquad\qquad R_2=\frac{m_1S_{12}}{m_1+m_2} \end{cases}$
выразим кинетические моменты $\vec H_1$ и $\vec H_2$ через кинетический момент системы $\vec H$
$H_1=m_1R_1^2\dot\varphi\qquad H_2=m_2R_2^2\dot\varphi$
Подставляя эти значения в предыдущую систему, получим: $$m_1H_1=m_2H_2$$

, далее
$\displaystyle \begin{cases} m_1H_1-m_2H_2=0\qquad H_1=\frac{m_2H}{m_1+m_2} \\ H_1\quad +\quad H_2=H\qquad H_2=\frac{m_1H}{m_1+m_2} \end{cases}$
И, наконец, разберёмся с пружиной. Дело в том, что задана жёсткость $$k$$

всей пружины. Силу $F_{12}$ мы получим если растянем пружину на длину $S_{12}$ . Мы же хотим рассмотреть силу которая действует из центра $$c$$

, расстояние от ц.м. до точки, равно модулю её радиус-вектора. Нам нужно найти жёсткость эквивалентной пружины, такой, чтобы при её удлинении на величину $$R$$

она давала ту же силу, как и целая пружина с длиной $$S=R_1+R_2$$

.
Неохота тут разводить целую теорию, я просто нашёл жесткости эквивалентных пружин:
$k_1=\frac{k(m_1+m_2)}{m_2}$
$k_2=\frac{k(m_1+m_2)}{m_1}$
При последовательном соединении этих пружин, мы и получим первоначальную пружину с жёсткостью $$k$$

.
Вот теперь уже всё готово для составления уравнения движения одной точки (любой).
Проверьте пожалуйста!

Рубен · Сообщение **Рубен** » 21 фев 2014, 09:45

Anik писал(а):Source of the post Начальные условия движения: в момент времени система имеет кинетический момент $\vec H_0$ и расстояние между материальными точками .

Anik писал(а):Source of the post $H_1=m_1R_1^2\dot\varphi\qquad H_2=m_2R_2^2\dot\varphi$

Откуда появились одинаковые угловые скорости? В условии ничего про них не сказано. В условии вообще ничего не сказано про начальные скорости тел.
Если известны начальные угловые скорости и координаты, то, извините, зачем в условии дан момент количества движения? Исправляйте.

yourdomain.com