Две жидкости

Nickolasha · Сообщение **Nickolasha** » 05 апр 2012, 11:47

Добрый день.

Имеется один литр горячего кофе (t=95 °С), один литр холодного чая (t=5 °С) и набор сосудов разного размера. Можно ли, нагревая одну жидкость другой и не пользуясь никакими другими источниками тепла/холода, сделать окончательную температуру всего чая выше окончательной температуры всего кофе? Теплоемкостью сосудов и потерями тепла на окружающую среду пренебречь.

Давно изучал физику, но мне кажется, что данная система является замкнутой и согласно второму закону термодинамики нельзя сделать температуру чая выше температуры кофе. Но чую какой-то подвох.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 05 апр 2012, 13:47

Можно. И мне говорили, что способ этот даже применяется в технике.

kiv · Сообщение **kiv** » 05 апр 2012, 14:01

Nickolasha писал(а):Source of the post
Давно изучал физику, но мне кажется, что данная система является замкнутой и согласно второму закону термодинамики нельзя сделать температуру чая выше температуры кофе. Но чую какой-то подвох.

Это если смешать...

А если, скажем, литром кофе нагреть поллитра чая до общей температуры, потом - вторые поллитра чая. Получим - поллитра более горячего чая, поллитра более холодного, и кофе температуры, как более холодный чай. Просто смешаем оба поллитра чая - и температура уже будет более высокой, чем у кофе...

И совсем другой вопрос - до какой максимальной температуры можно догреть этот самый чай...

Nickolasha · Сообщение **Nickolasha** » 05 апр 2012, 14:25

Спасибо.

kiv · Сообщение **kiv** » 05 апр 2012, 14:39

Nickolasha писал(а):Source of the post
Спасибо.

Заинтересовало. Теоретически вообще получается, что вроде бы до 95 градусов чай догреть можно

Nickolasha · Сообщение **Nickolasha** » 05 апр 2012, 15:13

А интересно было бы взглянуть на расчеты, если не противоречит правилам форума.

kiv · Сообщение **kiv** » 05 апр 2012, 16:01

Nickolasha писал(а):Source of the post
А интересно было бы взглянуть на расчеты, если не противоречит правилам форума.

Да чисто умозрительно - охлаждая по чуть-чуть, вроде бы можно довести кофе до начальной температуры чая, а по закону сохранения энергии... На расчеты, как обычно, времени нет

Upd. Что-то вроде - поскольку температуры играют роль только относительные, для простоты примем, что у чая с массой m и теплоемкостью c она исходно нулевая, у кофе с массой M и теплоемкостью C она $$T_0$$

.

Модель - берем по $$dm$$

чая и подогреваем до температуры кофе, за счет чего кофе чуть остывает: $$-MCdT(t) = T(t)cdm(t)$$

При смешиваниивсего подогретого чая получается усредненная температура
$mc\bar T=\int_{0}^{t_\infty}{cT(t)dm(t)}=\int_{0}^{t_\infty}{-MCdT(t)}=\int_{0}^{T_0}{MCdT}=MCT_0$ . Вот и выходит, что при равных массах и теплоемкостях при условии, что мы остудим кофе до температуры чая, чай догреется до исходной температуры кофе. Правда, сама функция
охлаждения получается какая-то сингулярная, типа ${\ln T}\limits_{T \to 0}$ , но это уже детали

Может, и ерунду написал, но какую - не вижу...

zykov · Сообщение **zykov** » 05 апр 2012, 23:55

kiv писал(а):Source of the post
При смешиваниивсего подогретого чая получается усредненная температура
$mc\bar T=\int_{0}^{t_\infty}{cT(t)dm(t)}=\int_{0}^{t_\infty}{-MCdT(t)}=\int_{0}^{T_0}{MCdT}=MCT_0$ . Вот и выходит, что при равных массах и теплоемкостях при условии, что мы остудим кофе до температуры чая, чай догреется до исходной температуры кофе.

Может, и ерунду написал, но какую - не вижу...

Тут не учтено, что $M=\int_{0}^{t_\infty}{dm(t)}$ . Для охлаждения всего кофе до начальной температуры чая нужна бесконечная масса чая. А если масса чая такая же, то после такого постепенного процесса конечная температура кофе будет выше начальной температуры чая, что очевидно, поскольку чай будет иметь температуру в диапазоне от начальной температуры кофе, до конечной.

В уравнении выше нужно избавится от $$t$$

, решить его для $$T(m)$$

и подставить для $$m$$

от

до

.

PS: С точки зрения физики, как литр чая, так и литр кофе - это литр воды. Масса и теплоемкость одинаковые.

kiv · Сообщение **kiv** » 06 апр 2012, 03:21

zykov писал(а):Source of the post
Тут не учтено, что $M=\int_{0}^{t_\infty}{dm(t)}$ . Для охлаждения всего кофе до начальной температуры чая нужна бесконечная масса чая.

Ну, это не обязательно - например, $t_\infty$ может быть конечным, или $$m$$

имеет вид типа $e^{-at}$ ...

zykov писал(а):Source of the post
А если масса чая такая же, то после такого постепенного процесса конечная температура кофе будет выше начальной температуры чая

Отличающейся на $\varepsilon$

zykov писал(а):Source of the post
В уравнении выше нужно избавится от , решить его для и подставить для от до .

Именно тут я и получал сингулярное решение, если конечная температура кофе = начальной итемпературе чая. Но если считать ее отличной на очень, очень малое значение, то такой режим подбирается... Т.е. в пределе чай догревается до температуры кофе...

Nickolasha · Сообщение **Nickolasha** » 06 апр 2012, 06:04

Интересно, что только в пределе, т.е. недостижимо на практике.

yourdomain.com