Доказать, что не существует

Clever_Unior

Доказать, что не существует таких натуральных $$a,b,c,d$$

, что:

.
Подскажите, пожалуйста, идею! Задача не сложная, но не знаю что делать вообще
P.S. Додумался лишь до того, что все уравнение можно поделить на 5, но вряд ли это пригодится..

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 июл 2011, 18:12

Clever_Unior писал(а):Source of the post
Доказать, что не существует таких натуральных , что:
.
Подскажите, пожалуйста, идею! Задача не сложная, но не знаю что делать вообще
P.S. Додумался лишь до того, что все уравнение можно поделить на 5, но вряд ли это пригодится..

Именно это и надо!) Метод бесконечного спуска знаете?

Clever_Unior

К сожалению, нет. Тут решается с его помощью?
Кстати, совсем не понимаю, что даст сокращение на 5. Получим еще большие коэффициенты, разве что, коэффициент 1 при у.

Быстро прочитав о этом методе, понял идею, но тут, при сокращении на 5 не вижу аналогии.. Обьясните, пожалуйста!

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 июл 2011, 18:39

Clever_Unior писал(а):Source of the post
К сожалению, нет. Тут решается с его помощью?
Кстати, совсем не понимаю, что даст сокращение на 5. Получим еще большие коэффициенты, разве что, коэффициент 1 при у.

Быстро прочитав о этом методе, понял идею, но тут, при сокращении на 5 не вижу аналогии.. Обьясните, пожалуйста!

Значит так. Если $$x$$

не делится на 5, то $$x^4$$

даёт в остатке 1. Убеждаемся что
$$a, b, c, d$$

делятся на 5.
Теперь метод спуска:
Предположим что данное уравнение имеет решение. Выберем тогда четвёрку $\{a, b, c, d\}$ , удовлетворяющую данному уравнению такую, что сумма $$a+b+c+d$$

является минимальной.
Но, так как $$a, b, c, d$$

делятся на 5, то четвёрка $\{\frac{a}{5}+\frac{b}{5}+ \frac{c}{5}+ \frac{d}{5}\}$ также есть решением этого уравнения, но сумма $\frac{a}{5},\frac{b}{5}, \frac{c}{5}, \frac{d}{5}<a+b+c+d$ , что противоречит выбору четвёрки $${a, b, c, d}$$

. Значит наше предположение не верно, и данное уравнение не имеет решений в натуральных числах.

Стоп. Только сейчас заметил, что а и с не обязаны делится на 5=) Сейчас додумаю.

Clever_Unior

Спасибо за обьяснения, теперь понял. (в Википедии совсем не такой пример приводился)

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 июл 2011, 18:51

Clever_Unior писал(а):Source of the post
Спасибо за обьяснения, теперь понял. (в Википедии совсем не такой пример приводился)

Подождите, подождите) Я вам наврал=(
$a ,\ b, \ c$ не обязаны делится на 5.
Тоесть здесь надо ещё что-нибудь придумать)

Зато вы теперь метод спуска знаете) Можете пока-что сюда его применить)
$$x^3+3y^3+9z^3=27xyz$$

Clever_Unior

Кстати, если выразить:
$$a=5n+1,c=5k+1$$

, получим:
$$5 (b^4+375 k^4+300 k^3+90 k^2+12 k+875 z^4+700 z^3+210 z^2+28 z+2) = 11 d^4$$

MrDindows писал(а):Source of the post
Подождите, подождите) Я вам наврал=(
$a ,\ b, \ c$ не обязаны делится на 5.
Тоесть здесь надо ещё что-нибудь придумать)

Зато вы теперь метод спуска знаете) Можете пока-что сюда его применить)

А как вы пришли к этому?

MrDindows · Сообщение **MrDindows** » 22 июл 2011, 19:00

Clever_Unior писал(а):Source of the post
MrDindows писал(а):Source of the post
Подождите, подождите) Я вам наврал=(
$a ,\ b, \ c$ не обязаны делится на 5.
Тоесть здесь надо ещё что-нибудь придумать)

Зато вы теперь метод спуска знаете) Можете пока-что сюда его применить)

А как вы пришли к этому?

То отдельная задача)

Clever_Unior

Ну тут ясно:
Сначала получаем х делится на 3. Сократим: у делится на 3. Сократим: з делится на 3 и т.д...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 22 июл 2011, 19:02

На метод спуска еще хорошая задачка:
Найти все решения уравнения $$3(x^2+y^2)=7(u^2+v^2)$$

в целых числах.

Еще стандартный прием решать диофантово уравнение - рассматривать его по небольшому модулю (у нас можно пытаться брать $$m=3;5$$

. Для модуля $$5$$

уже MrDindows Вам показывает).

yourdomain.com