Планиметрия

Traim · Сообщение **Traim** » 22 янв 2011, 09:17

Добрый день. Вот предстоит решить такую задачу:

Около окружности описана равнобокая трапеция ABCD (AD||BC, AD>BC). Касательная к окружности, параллельная диагонали BD, пересекает основание AD в точке M и сторону AB в точке N, при этом AM=6, AN=5. Найти стороны трапеции и радиус окружности

Сам допер, что треугольники ANM и ADB подобны => можно выразить AB и AD через 5х и 6х соответственно. A дальше - полный ступор. Кто то подсказал, что BD=7x, a MN=6x-11, но я никак не могу взять в толк, откуда это можно высчитать. Заранее спасибо

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 22 янв 2011, 10:47

Если в трапецию вписана окружность, то AB+CD=BC+AD, a она еще и равнобокая.

Traim · Сообщение **Traim** » 23 янв 2011, 09:53

Andrew58 писал(а):Source of the post
Если в трапецию вписана окружность, то AB+CD=BC+AD, a она еще и равнобокая.

спасибо, понял как получить BD=7x, но вот c MN=6x-11 все равно не понимаю((

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 23 янв 2011, 10:36

Используем то, что отрезки касательных, проведенных из точек N и M равны.
Пусть точки касания c окружностью слева P, сверху Q, снизу R.
$\displaystyle BP = BQ = \frac{1}{2} BC = 2x,\ \ AR=\frac{1}{2}AD=3x$
$\displaystyle NP=AB-AN-BP=3x-5,\ \ MR=AR-AM=3x-6$
$\displaystyle NM=NP+MR=6x-11$
Несложно получить, что $$NM=7$$

.

Traim · Сообщение **Traim** » 23 янв 2011, 10:54

Troll1984 писал(а):Source of the post
Используем то, что отрезки касательных, проведенных из точек N и M равны.
Пусть точки касания c окружностью слева P, сверху Q, снизу R.
$\displaystyle BP = BQ = \frac{1}{2} BC = 2x,\ \ AR=\frac{1}{2}AD=3x$
$\displaystyle NP=AB-AN-BP=3x-5,\ \ MR=AR-AM=3x-6$
$\displaystyle NM=NP+MR=6x-11$
Несложно получить, что .

Спасибо за ответ, все получилось! Вот только радиус вписанной окружности получился иррациональным, но, наверное, так и задумано.

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 23 янв 2011, 10:58

$3\sqrt{6}$ - вроде как радиус

Traim · Сообщение **Traim** » 23 янв 2011, 11:06

Troll1984 писал(а):Source of the post
$3\sqrt{6}$ - вроде как радиус

да?.. что-то у меня совсем страшно получилось - $\frac {\sqrt{216}} {2}$
считал по формуле $R=\frac {\sqrt{AD*BC}} {2}$ , которую нашел здесь

Troll1984 · Сообщение **Troll1984** » 23 янв 2011, 11:08

Traim · Сообщение **Traim** » 23 янв 2011, 11:12

Ах ну да, что-то я совсем затупил. Еще раз спасибо

Traim · Сообщение **Traim** » 23 янв 2011, 11:30

Вот еще одна задачка, вроде простая, но я никак не пойму c чего начать:
MA - касательная, MC - секущая, AC=2, AB=1. Могут ли отрезки MB и BC быть равны?

Подскажите в какую сторону думать

yourdomain.com