jmhan писал(а):Source of the post Хотелось бы немного добавить по существу вопроса: совокупность конечноразностных операторов, которые я, собственно и имел ввиду, когда применены целое число раз, представляют собой алгебру - операторы перестановочны и дистрибутивны в отношении друг друга.
Ну, во-первых, операторы дифференцирования и интегрирования - не конечноразностные.
jmhan писал(а):Source of the post A что произойдет, если определить применение конечноразностных операторов дробное число раз?
A ничего особенного не произойдёт. Я уже упоминал, как это определяется: через взятие логарифма и экспоненты от заданного оператора. Если у вас есть оператор дифференцирования
, то оператор дифференцирования дробного порядка (грубо) может быть записан как
. Надо только конкретизовать разрешение неоднозначности. B конечноразностном случае других сложностей нет.
Ну вот возьмём простейший случай, когда сетка состоит из двух точек. Тогда оператор дифференцирования выглядит как
,
и он является экспонентой от следующего оператора:
.
Умножая на
, получаем
,
и
,
куда легко можно подставить
,
(получая оператор интегрирования), и т. д. Ha сетке из трёх точек ситуация будет уже не столь тривиальная:
,
(обратите внимание на правый верхний угол),
,
.
Ha сетках больших размеров считать придётся больше, но это проблема чисто техническая.
Итого, стоит заметить, что хотя операторы дифференцирования на конечноразностных сетках "локальные", имеют матрицы ленточного вида, и для вычисления каждого элемента затрагивают только ближайшие узлы сетки, но операторы дифференцирования дробного порядка оказываются "глобальными", "интегро-дифференциальными", и для вычисления каждого элемента затрагивают
узлов сетки. Точно так же ведут себя операторы интегрирования дробного порядка, так что в непрерывном ряду порядков операторов целые неотрицательные порядки дифференцирования оказываются выделенными "почти случайно".
Ещё, если будете применять в численных расчётах, следите за потерей точности и проблемами, типичными для матричных вычислений.