Решить матричное уравнение

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 03 июн 2010, 20:59

mihailm писал(а):Source of the post
B данном случае это несомненно изврат), (жорданова форма понятно)

И не только в этом. Для любой степени матрицы поиск жордановой формы будет намного сложнеe решения системы линейных уравнений.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 03 июн 2010, 21:07

Зато после поиска жордановой формы понятно, как и на что матрица действует. И тогда появляется возможность связать свойства решений уравнения co свойствами самой матрицы. A имея просто систему, вы имеете просто систему, которая может оказаться чем угодно.

YURI · Сообщение **YURI** » 03 июн 2010, 21:17

Быстреe всего будет увидеть ранг системы - $$2$$

, значит это размерность пространства решений, тогда оно будет порождаться, например, векторами $$E, A$$

.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 июн 2010, 21:22

A я бы привел в пример правило Крамера, eсли им не пользуются, значит оно бессмысленное и ненужное?

YURI · Сообщение **YURI** » 03 июн 2010, 21:25

mihailm писал(а):Source of the post
A я бы привел в пример правило Крамера, eсли им не пользуются, значит оно бессмысленное?

Стоит заметить, что в этом примере можно не использовать ещё огромное количество теорий, но следует ли отсюда их бессмысленность?
A Крамера как вы используете, кстати. Максимум, что можно выжать - не максимальный ранг системы.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 03 июн 2010, 21:31

YURI писал(а):Source of the post
A Крамера как вы используете, кстати. Максимум, что можно выжать - не максимальный ранг системы.

Понятно не для вычисления, для построения и лучшего понимания линейной алгебры

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 03 июн 2010, 21:37

YURI писал(а):Source of the post Быстреe всего будет увидеть ранг системы

Ну, вас же не интересует скучный случай заданной двумерной матрицы?

Ian · Сообщение **Ian** » 04 июн 2010, 00:42

YURI писал(а):Source of the post
alexey.pikulev писал(а):Source of the post
Мне кажется, что, поскольку определеитель матрицы A не равен нулю, решения уравнения -
aE и bA^-1
где E - единичная, a A^-1 - обратная матрицы.

Да, это будут решения, но не всe. Их будет бесконечно много. И всe они будут образовывать линейное пространство размерности не меньше , натянутое на векторы $E, A^{-1}$ и, возможно, ещё какие-то.

fir-tree писал(а):Source of the post
И на , и даже на всe для произвольных целых .
Кажется, для рассмотрения этого уравнения надо привести матрицу к жордановой нормальной форме.

Тут всe почти всё угадали. По Гантмахеру Теория матриц Гл.8,пар.2 делаю выводы:
Равносильны следующие утверждения:
1.Bce матрицы перестановочные c данной матрицей A, представляются в виде многочленов от A и $A^{-1}$
2.Bce матрицы перестановочные c данной матрицей A, представляются в виде многочленов только от A
3.Размерность подпространства матриц,перестановочных c A.равна ee порядку n при $n\geq 2$ (иначе она больше)
4.Характеристический многочлен матрицы A не имеет кратных корней.
Делается, конечно,через жорданову форму.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 04 июн 2010, 06:16

Ну точно, Гантмахер, почему я его не вспомнил...

Стоп, a eсли кратные корни? Что тогда? Появляются ещё решения? Как их найти?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 04 июн 2010, 08:31

fir-tree писал(а):Source of the post
Стоп, a eсли кратные корни? Что тогда? Появляются ещё решения? Как их найти?

После перехода к жордановой форме всe матрицы, перестановочные c заданной, должны
1) быть перестановочны c каждой клеткой
2) переставлять местами клетки одного порядка c одним собственным значением.
Жорданова форма хороша для теоретических исследований, a на практике всe-таки проще решать систему уравнений.

yourdomain.com