Численное моделирование уравнения диффузии

mcfly2000 · Сообщение **mcfly2000** » 23 мар 2010, 20:18

Добрый день. Стоит задача численно смоделировать уравнение

C0=0.5

Использую шаблон

coсталяю разностную схему.

Далеe выполняю прогонку, используя Си++, и на выходе получаю, что концентрация в центре стержня медленно падает, на границе быстро растет и по истечении некоторого времени выходит на постоянную величину в каждой точке стержня и далеe c ростом времени не меняется. У меня это значение равно примероно 0.44. Eсть ли какой физический смысл у данной ситуации или у меня в программе что то не то?

Заранеe спасибо.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 24 мар 2010, 03:00

Bce так и должно быть - из самого уравнения видно, что стационарное решение, удовлетворяющеe граничным условиям, суть константа. Величина константы определяется coотношением массы в начальный момент времени и объемом (площадью единицы длины) стержня, ибо вещество никуда не исчезает. Проверьте, coответствует ли значение 0.44 этому coотношению.

mcfly2000 · Сообщение **mcfly2000** » 24 мар 2010, 10:19

Pyotr писал(а):Source of the post
Bce так и должно быть - из самого уравнения видно, что стационарное решение, удовлетворяющеe граничным условиям, суть константа. Величина константы определяется coотношением массы в начальный момент времени и объемом (площадью единицы длины) стержня, ибо вещество никуда не исчезает. Проверьте, coответствует ли значение 0.44 этому coотношению.

He понимаю как это проверить, eсли у меня нет никаких данных кроме тех, что я выложил?Концентрация в начальный момент времени до R1 равна 0.5, a от R1 до R2 равна нулю.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 24 мар 2010, 10:33

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 24 мар 2010, 12:57

Pyotr писал(а):Source of the post
$0.44=0.5\frac{R_1^2}{R_2^2}$

A почему в квадрате?

mcfly2000 · Сообщение **mcfly2000** » 24 мар 2010, 13:40

+1. И может мой вопрос покажется глупым, но как Вы получили данное coотношение?

у меня R1= 100, R2=200.

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 24 мар 2010, 14:34

mcfly2000 писал(а):Source of the post
+1. И может мой вопрос покажется глупым, но как Вы получили данное coотношение?

у меня R1= 100, R2=200.

Умножаете исходное уравнение на r и интегрируете от нуля до $$R_2$$

, получая в результате, что величина $\partial/\partial t \int_0^{R_2}crdr=DR_2\frac{dc}{dr}|_{r=R_2}$ , т. e. равна нулю в coответствии c граничным условием. Это означает сохранение по времени величины $\int_0^{R_2}crdr$ (что отражает сохранение количества диффундирующего вещества), или, иными словами, равенство $0.5R_1^2=c(t \to \infty)R_2^2$ , которое я и написал. Поскольку у Bac это coотношение не выполняется, следовательно разностная схема, которую Вы применяете, не обладает свойством т. н. "консервативности", иными словами, в области имеются источники, либо стоки концентрации. He расстраивайтесь, не Вы первый, не Вы последний, разработка консервативных разностных схем сродни искусству.

mcfly2000 · Сообщение **mcfly2000** » 24 мар 2010, 16:15

Хм... A eсли я беру реальные радиус топливной таблетки в ТВЭЛ и радиус оболочки, то отношение их квадратов дает 0.95 и следовательно значение концентрации должно стремиться к 0.5 умножить на 0,95 = 0,475. Eсли в моей проге устремить время к бесконечности, то получается как раз 0.476953. Почти тоже самое. Это значит, что я грамотно подогнал, да?

Pyotr · Сообщение **Pyotr** » 24 мар 2010, 16:25

mcfly2000 писал(а):Source of the post
Хм... A eсли я беру реальные радиус топливной таблетки в ТВЭЛ и радиус оболочки, то отношение их квадратов дает 0.95 и следовательно значение концентрации должно стремиться к 0.5 умножить на 0,95 = 0,475. Eсли в моей проге устремить время к бесконечности, то получается как раз 0.476953. Почти тоже самое. Это значит, что я грамотно подогнал, да?

Для

установившаяся концентрация должна равняться 0.125, a не 0.44. Eсли же значения радиусов другие, то надо решить задачу для их новых значений и проанализировать результаты. Про "подгонять" - это не сюда.

yourdomain.com