Интересные олимпиадные задачи

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 05 июн 2007, 01:44

andrej163 писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

Если положить , то получим
$\sqrt{t^2-4a+16}-2\sqrt{t^2-2a+4}+t=0.$
B частности, при , получим
$\sqrt{(t^2 - 8t + 16} - 2\sqrt{t^2 - 4t + 4} + t = \sqrt{(t-4)^2} - 2\sqrt{(t-2)^2} + t = t-4 - 2(t-2) + t = 0$
при любом t.

Что-то я не понимаю, почему мы это можем взять!!!!
И решение наверное надо до конца довести, выяснить всё для икса!!!! :acute:

$a \ge 0, \quad x = \frac{a^2}{4}$ .

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 05 июн 2007, 20:00

AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

Если положить , то получим
$\sqrt{t^2-4a+16}-2\sqrt{t^2-2a+4}+t=0.$
B частности, при , получим
$\sqrt{(t^2 - 8t + 16} - 2\sqrt{t^2 - 4t + 4} + t = \sqrt{(t-4)^2} - 2\sqrt{(t-2)^2} + t = t-4 - 2(t-2) + t = 0$
при любом t.

Что-то я не понимаю, почему мы это можем взять!!!!
И решение наверное надо до конца довести, выяснить всё для икса!!!! :acute:

$a \ge 0, \quad x = \frac{a^2}{4}$ .

Есть ещё промежутки, на которых есть решения!!!!!
И ещё, вы нашли только 1 промежуток, на котором уравнение имеет 1 корень, есть ещё один промежуток!!!! Решение не полное!!!!! :acute:

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 05 июн 2007, 20:46

Предлагаю несколько задач на сообразительность
1. Вы находитесь на башне высотой 100м. У вас в наличии есть веревка длиной 75 м и нож. Ha высоте 50 м вбит крюк за который можно зацепить веревку. Необходимо спуститься c башни вниз.

2. Вам предлагают 3 шкатулки. B одной деньги, две пустые. Вы выбираете шкатулку и берете ee себе (не открывая). После этого одна из двух оставшихся шкатулок открывается и оказывается пустой. После этого вы можете поменять шкатулку. Выгодно ли это делать?

3. Вы играете в русскую рулетку. B барабан на 5 патронов вставляется 2 патрона подряд. Ваш оппонент спустил курок и остался жив. Как выгоднее делать: крутить барабан или спустить курок сразу?

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 05 июн 2007, 21:37

andrej163 писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

Если положить , то получим
$\sqrt{t^2-4a+16}-2\sqrt{t^2-2a+4}+t=0.$
B частности, при , получим
$\sqrt{(t^2 - 8t + 16} - 2\sqrt{t^2 - 4t + 4} + t = \sqrt{(t-4)^2} - 2\sqrt{(t-2)^2} + t = t-4 - 2(t-2) + t = 0$
при любом t.

Что-то я не понимаю, почему мы это можем взять!!!!
И решение наверное надо до конца довести, выяснить всё для икса!!!! :acute:

$a \ge 0, \quad x = \frac{a^2}{4}$ .

Есть ещё промежутки, на которых есть решения!!!!!
И ещё, вы нашли только 1 промежуток, на котором уравнение имеет 1 корень, есть ещё один промежуток!!!! Решение не полное!!!!! :acute:

a - произвольное, $x = \frac{a^2}{4}$ .

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 05 июн 2007, 22:03

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
2. Вам предлагают 3 шкатулки. B одной деньги, две пустые. Вы выбираете шкатулку и берете ee себе (не открывая). После этого одна из двух оставшихся шкатулок открывается и оказывается пустой. После этого вы можете поменять шкатулку. Выгодно ли это делать?

Конечно выгодно!!!!
Если ведущий знает, в какой шкатулке что находится, то он открывает ту из оставшихся шкатулок, в которой ничего нет, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что приз находится в выбранной игроком шкатулке, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что деньги находятся в оставшейся шкатулке, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока в 2 раза.
Хотя на первый взгляд кажется, что никакой разницы нет, что открывать уже выбраннуюю шкатулку, что открывать оставшеюся!!!!!
Парадокс Монти Холла!!!!!

AV_77 писал(а):Source of the post
a - произвольное, $x = \frac{a^2}{4}$ .

Вы хотите сказать, что при любом a ответ будет
$x=\frac {a^2} {4}$ ???

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 05 июн 2007, 22:36

andrej163 писал(а):Source of the post
Конечно выгодно!!!!
Если ведущий знает, в какой шкатулке что находится, то он открывает ту из оставшихся шкатулок, в которой ничего нет, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что приз находится в выбранной игроком шкатулке, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что деньги находятся в оставшейся шкатулке, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока в 2 раза.
Хотя на первый взгляд кажется, что никакой разницы нет, что открывать уже выбраннуюю шкатулку, что открывать оставшеюся!!!!!
Парадокс Монти Холла!!!!!

хм.. a почему 2/3 можно поподробней

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 05 июн 2007, 22:40

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Конечно выгодно!!!!
Если ведущий знает, в какой шкатулке что находится, то он открывает ту из оставшихся шкатулок, в которой ничего нет, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что приз находится в выбранной игроком шкатулке, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что деньги находятся в оставшейся шкатулке, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока в 2 раза.
Хотя на первый взгляд кажется, что никакой разницы нет, что открывать уже выбраннуюю шкатулку, что открывать оставшеюся!!!!!
Парадокс Монти Холла!!!!!

хм.. a почему 2/3 можно поподробней

1 оставшееся, 2 в руках!!! Всего 3 шкатулки, отсюда и 2/3!!!

master · Сообщение **master** » 05 июн 2007, 23:09

a_l_e_x86 писал(а):Source of the post
3. Вы играете в русскую рулетку. B барабан на 5 патронов вставляется 2 патрона подряд. Ваш оппонент спустил курок и остался жив. Как выгоднее делать: крутить барабан или спустить курок сразу?

Вероятность $\frac{2}{3}$ против $\frac{3}{5}$ вполне резонна. Так что лучьше барабан не крутить, раз уж он остановился между пуль

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июн 2007, 01:06

master писал(а):Source of the post
Вероятность $\frac{2}{3}$ против $\frac{3}{5}$ вполне резонна. Так что лучьше барабан не крутить, раз уж он остановился между пуль

Совершенно верно. +1

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 июн 2007, 01:28

andrej163 писал(а):Source of the post
1 оставшееся, 2 в руках!!! Всего 3 шкатулки, отсюда и 2/3!!!

Кажись понял.

yourdomain.com