Интересные олимпиадные задачи

Pavlukhin · Сообщение **Pavlukhin** » 02 июн 2007, 02:13

эххх...я хоть и не элита форума но давно бы сам создал такую тему, но как то ни одной олимпиадной задачи не помню)

master · Сообщение **master** » 02 июн 2007, 02:26

Pavlukhin писал(а):Source of the post
эххх...я хоть и не элита форума но давно бы сам создал такую тему, но как то ни одной олимпиадной задачи не помню)

Эх.. разрушить чтоли всю романтику...
Вот пару ссылок для осла:
И.Л.Бабинская. Задачи математических олимпиад.djvu
Гальперин Г.A., Толпыго A.K. - Московские математические олимпиады. 1986.djvu

Pavlovsky · Сообщение **Pavlovsky** » 02 июн 2007, 11:23

удалено

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 02 июн 2007, 12:40

master писал(а):Source of the post
Pavlukhin писал(а):Source of the post
эххх...я хоть и не элита форума но давно бы сам создал такую тему, но как то ни одной олимпиадной задачи не помню)

Эх.. разрушить чтоли всю романтику...
Вот пару ссылок для осла:
....

He понял на счет ОСЛОВ ? He ожидал окорблений от админа... (или я что-то не понял, заранее приношу извинения).

Ha счет ссылок: почему-то не открылись...

Также хотел бы уточнить, что тему создавал для интересных задач, c интересным решением; a олимпиадные задачи как правило не все такие, зачастую очень нудные; т.e. требуется кинуть не просто любую сложную задачу, a интересную (не обязательно сложную, и все-таки не обязательно олимпиадную, поскольку среди оных также встречаются интересные).

master · Сообщение **master** » 02 июн 2007, 13:57

Уважаемый Krrechet!
Потому и для ослов, потомучто не для http
Осёл - это клиент для закачки файлов в сети e-donkey2000.
Вот ссылачка на гибрида c лошадкой
[url=http://emule-project.net/home/perl/general...amp;rm=download]http://emule-project.net/home/perl/general...amp;rm=download[/url]

C его то помощью и качайте книги

У меня и мыли даже небыло, что фразу "ссыллка для осла" можно так плохо интерпретировать

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 02 июн 2007, 14:15

Мда... c ослами приколько получилось...

Напомню, что хотелось бы еще решения узнать

Krrechet писал(а):Source of the post
Вашему вниманию предлагается еще одна интересная задачка c хитроумным решением:
Сумма целых чисел равна нулю. Докажите, что число
${x^4+y^4+z^4 +t^4 \over 2}+2xyzt$ является квадратом целого числа.

Krrechet · Сообщение **Krrechet** » 05 июн 2007, 00:40

Krrechet писал(а):Source of the post
Вашему вниманию предлагается еще одна интересная задачка c хитроумным решением:
Сумма целых чисел равна нулю. Докажите, что число
${x^4+y^4+z^4 +t^4 \over 2}+2xyzt$ является квадратом целого числа.

Ну хорошо, раз ни кто ни каких решений больше не предлагает...
Выкладываю авторское:

Рассмотрим приведенный многочлен четвертой степени $P(u)=u^4+ \ldots$ , корнями которого являются числа $$x,y,z,t$$

. По теореме Виета, коэфициент при $$u^3$$

равен нулю, так как $$x+y+z+t=0$$

, т.e.

. Подставляя вместо $$u$$

последовательно $$x,y,z,t$$

и складывая полученные равенства, имеем:
$$x^4+y^4+z^4+t^4+a(x^2+y^2+z^2+t^2)+b(x+y+z+t)+4c=0.$$

Откуда, учитывая, что по теореме Виета
$a=xy+xz+xt+yz+yt+zt={1 \over 2}(x+y+z+t)^2-{1 \over 2}(x^2+y^2+z^2+t^2)=-{1 \over 2}(x^2+y^2+z^2+t^2), \\ c=xyzt,$
получаем:
$x^4+y^4+z^4+t^4+4xyzt={1 \over 2}(x^2+y^2+z^2+t^2)^2, \\ {x^4+y^4+z^4+t^4 \over 2}+2xyzt=${x^2+y^2+z^2+t^2 \over 2}$^2=${(x+y+z+t)^2-2(xy+xz+xt+yz+yt+zt) \over 2}$^2=(xy+xz+xt+yz+yt+zt)^2.$

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 05 июн 2007, 01:05

Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 05 июн 2007, 01:23

andrej163 писал(а):Source of the post
Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

Если положить $$ x = t^2 $$

, то получим
$\sqrt{t^2-4a+16}-2\sqrt{t^2-2a+4}+t=0.$
B частности, при $$ a = 2t $$

, получим
$\sqrt{(t^2 - 8t + 16} - 2\sqrt{t^2 - 4t + 4} + t = \sqrt{(t-4)^2} - 2\sqrt{(t-2)^2} + t = t-4 - 2(t-2) + t = 0$
при любом t.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 05 июн 2007, 01:38

AV_77 писал(а):Source of the post
andrej163 писал(а):Source of the post
Так как в этой теме можно писать интересные задания, предлогаю посмотреть такую:
решить уравнение
$\sqrt{x-4a+16}-2\sqrt{x-2a+4}+\sqrt{x}=0$
и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение!!!

Если положить , то получим
$\sqrt{t^2-4a+16}-2\sqrt{t^2-2a+4}+t=0.$
B частности, при , получим
$\sqrt{(t^2 - 8t + 16} - 2\sqrt{t^2 - 4t + 4} + t = \sqrt{(t-4)^2} - 2\sqrt{(t-2)^2} + t = t-4 - 2(t-2) + t = 0$
при любом t.

Что-то я не понимаю, почему мы это можем взять!!!!
И решение наверное надо до конца довести, выяснить всё для икса!!!! :acute:

yourdomain.com