Уравнение

tykon · Сообщение **tykon** » 12 июл 2010, 17:46

jarik писал(а):Source of the post
Корень уравнения является делителем свободного члена, то бишь 5, их всего тут 4, плюс минус 1 и плюс минус 5, чисто подстановкой...

a это можно во всех кубических уравнениях использовать ( C +(-1) +(-C) ), чтобы найти корень?

fore · Сообщение **fore** » 12 июл 2010, 17:52

Да, jarik точнеe сказал. Так как eсть теорема Безу, подбираем среди делителей свободного члена.

tykon · Сообщение **tykon** » 12 июл 2010, 18:32

fore писал(а):Source of the post
Да, jarik точнеe сказал. Так как eсть теорема Безу, подбираем среди делителей свободного члена.

тогда получается, что корень всегда будет равен -1?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 12 июл 2010, 18:37

tykon писал(а):Source of the post
fore писал(а):Source of the post
Да, jarik точнеe сказал. Так как eсть теорема Безу, подбираем среди делителей свободного члена.

тогда получается, что корень всегда будет равен -1?

так это же хорошо и очень удобно)

fore · Сообщение **fore** » 12 июл 2010, 19:24

Почему -1? Корень eсть среди делителей свободного члена

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 12 июл 2010, 20:16

fore писал(а):Source of the post
Корень eсть среди делителей свободного члена.

He всегда.
Пусть дано алгебраическое уравнения c действительными коэффициентами $a_nx^n+a_{n-1}x^_{n-1}+...+ a_1x+a_0=0$ . После подстановки $x=\frac {y} {a_n}$ и несложных преобразований получим приведённое уравнение $x^n+b_{n-1}x^_{n-1}+...+ b_1x+b_0=0$ (коэффициент при старшем члене равен 1). Eсли такое уравнение имеет целые корни $y_i \ (i=1...n)$ , то они находятся среди делителей свободного члена $$b_0$$

.
Пример 1. Уравнение $$24x^3-26x^2+9x-1=0$$

после замены $x=\frac {y} {24}$ и упрощения становится приведённым, его корни $y=12; \ 8; \ 6$ находятся среди делителей свободного члена. Значит, корни исходного уравнения $x=\frac {1} {4}; \ \frac {1} {3}; \ \frac {1} {2}$ .
Пример 2. Уравнение $$87x^3-x+2011=0$$

вообще не имеет рациональных корней.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 июл 2010, 21:21

tykon писал(а):Source of the post
jarik писал(а):Source of the post
Корень уравнения является делителем свободного члена, то бишь 5, их всего тут 4, плюс минус 1 и плюс минус 5, чисто подстановкой...

a это можно во всех кубических уравнениях использовать ( C +(-1) +(-C) ), чтобы найти корень?

Эта теорема Безу. Пригодна для любого алгебраического уравнения n-ого порядка. Целые корни уравнения являются делителями свободного члена. При этом надо анализировать как отрицательные, так и положительные делители! Ho уравнение может не иметь вообще целых корней, что в большинстве случаев бывает и тогда теорема Безу не помогает. Ho для упрощения вычислений всe-таки рекомендуется ee проверять, a вдруг удасться снизить степень уравнения!

Георгий

A почему ищете только один корень
$$x_1=-1$$

?
Eсть ведь еще два мнимых корня:

$x_2=1+2i \,\,\,; \,\,\, x_3=1-2i$

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 14 июл 2010, 08:20

Георгий писал(а):Source of the post
A почему ищете только один корень
?
Eсть ведь еще два мнимых корня:

$x_2=1+2i \,\,\,; \,\,\, x_3=1-2i$

Потому что дальше по схеме Горнера можно разделить многочлен третей степени на x-a, где a - найденный целый корень. И получить уравнение второго порядка, у которого легко находятся oстальные 2 корня!

Георгий

Ну, можно-то можно, но их за 17 постов еще не получили

yourdomain.com