задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь

Ian · Сообщение **Ian** » 06 май 2010, 17:10

Dm13 писал(а):Source of the post
A еще задача легко (хотя и не столь изящно, но и не особо муторно) решается методом координат.

Точку поместим в начало координат, точку на ось .
.
Тогда $M(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$ .
состоит из точек $t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$

Находим точки пересечения c и - это точки отрезка при $t=\frac{2}{3}$ и $t=\frac{1}{3}$ :
$(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}a,\frac{y}{3})$ ,(точка "T")
$(\frac{x}{6}+\frac{2}{3}a,\frac{y}{6})$ .(точка"K")
.........
He уверен, что это школьники это проходят (постарался написать максимально подробно), но признаюсь, c теоремой Менелая я и сам не был знаком до прочтения этой темы (ну или совсем уж хорошо забыл).

Есть еще один прием, тоже не совсем школьный, однако от ВЗМШ при МГУ я узнал его в предпоследнем классе и успел даже в школе поприменять.
Задача аффинная, то есть отношения площадей и отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой,не зависят от аффинных преобразований (по нашему-линейных c собственными числами 1,1).Поэтому х-коорднату точки B в решении Dm13 мы можем выбрать как нам удобно. Мне удобно,чтобы BD была вертикальна.Выберем х=0,8a, следуя процитированной здесь части решения Dm13(она и на школьный язык переводится),получаем что у точки K первая координата тоже 0,8a,значит DE=0,3a и все доказано.

Lenor · Сообщение **Lenor** » 06 май 2010, 18:11

Спасибо все большое!!! вы мне очень помогли, я теоремой Менелая я знакома и решение поняла, просто не додумалась ee применить. решение через координаты для меня необычно, но теперь я обязательно буду его использовать=) спасибо всем еще раз большое за ваши советы и решения, я вам очень признательна=)

alex20100402

Lenor писал(а):Source of the post
Спасибо все большое!!! вы мне очень помогли, я теоремой Менелая я знакома и решение поняла, просто не додумалась ee применить. решение через координаты для меня необычно, но теперь я обязательно буду его использовать=) спасибо всем еще раз большое за ваши советы и решения, я вам очень признательна=)

Без теоремы Менелая. Пусть K - точка пересечения медиан, a х - площадь треугольника ДЕК. Тогда площадь ДКВ будет 2х. Площадь АДВ тоже 2х. Значит площадь AEB 2х+2х+х. Так как BE -медиана, то площади AEB и BEC равны. Отсюда 2(2х+2х+х)=1. Решаем, х=1/10. Значит площадь ДЕВ равна 3/10.

kutkh · Сообщение **kutkh** » 15 май 2010, 22:58

Таланов писал(а):Source of the post
Lenor писал(а):Source of the post
спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?

Медианы пересекаются в точке делющих их 2:1.

Кхм... Ho ведь и BD точно так же пересекает AM в точке, делящей её 2:1? Почему же Вы решили, что именно BE, a не BD, медиана?

Таланов

kutkh писал(а):Source of the post
Кхм... Ho ведь и BD точно так же пересекает AM в точке, делящей её 2:1? Почему же Вы решили, что именно BE, a не BD, медиана?

Медианы треугольника ... делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины угла.

yourdomain.com