задачка на площади, над которой я уже 2 дня мучаюсь

Lenor · Сообщение **Lenor** » 06 май 2010, 10:31

Я мучаюсь над этой задачей уже второй день, хотя мне это не свойственно=( может вы натолкнете на какую-нибудь мысль, пожалуйста.
условие: точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC. Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.
мои наброски: если мы обозначим точки пересечения медианы прямыми BD и BE слева направо K и T, тогда площади треугольников ABK, KBT, TBM равны по свойству медиан и равны по 1/6. Если мы найдем отношение DE к AC, то тогда задача решена, но c этого момента у меня завал=(. если вам не сложно, натолкните на мысль.

Таланов

Пока не знаю как решать, но если поможет, то BE - медиана.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 06 май 2010, 11:12

A нельзя ли, воспользовавшись теоремой Фалеса , доказать, что DE=AC/3 (это глупость, совсем забыл школьную математику), и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?

Таланов

BD и BE не параллельны.

Lenor · Сообщение **Lenor** » 06 май 2010, 11:20

Hottabych писал(а):Source of the post
A нельзя ли, воспользовавшись теоремай Фалеса, доказать, что DE=AC/3, и тогда площадь BDE=1/3 площади ABC (поскольку высота у них одинакова)?

вот я тоже думала об этом. только теорема фалеса действует только при параллельных прямых. я тоже знаю, что по идеи площадь должна быть 1/3 но как доказать не знаю. надо доказать, что AD:DE:EC как 1:2:3

Таланов писал(а):Source of the post
Пока не знаю как решать, но если поможет, то BE - медиана.

как доказать, что BE медиана?

Ian · Сообщение **Ian** » 06 май 2010, 11:28

Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим $\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим $\frac {KD}{BD}=\frac 16$
Отсюда $\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$
$S=1-\frac 12-\frac 15$
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !

Lenor · Сообщение **Lenor** » 06 май 2010, 12:14

Ian писал(а):Source of the post
Продолжу talanova.
Применим теорему Менелая к треугольнику BCD и прямой AM, получим $\frac {BK}{KD}=\frac{CA}{DA}$
Применим ee же к треугольнику BKM и прямой AC, получим $\frac {KD}{BD}=\frac 16$
Отсюда $\frac {KD}{BK}=\frac 15\\ \frac {CA}{DA}=5$
$S=1-\frac 12-\frac 15$
Кто предположил 1:2:3? Будет 2:3:5 !

спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?

Таланов

Lenor писал(а):Source of the post
спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?

Медианы пересекаются в точке делющих их 2:1.

Самоед

Таланов писал(а):Source of the post
Lenor писал(а):Source of the post
спасибо большое, только как доказать, что BE-медиана?

Медианы пересекаются в точке делющих их 2:1.

Верно. Прочитать статью в интернете "свойства медиан" - ответ в кармане.

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 06 май 2010, 16:41

A еще задача легко (хотя и не столь изящно, но и не особо муторно) решается методом координат.

Точку поместим $$C$$

в начало координат, точку $$A$$

на ось

.

.
Тогда $M(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$ .
$$AM$$

состоит из точек $t(\frac{x}{2}-a,\frac{y}{2})+(a,0)), t\in[0,1]$

Находим точки пересечения $$AM$$

c

и

- это точки отрезка $$AM$$

при $t=\frac{2}{3}$ и $t=\frac{1}{3}$ :
$(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}a,\frac{y}{3})$ ,
$(\frac{x}{6}+\frac{2}{3}a,\frac{y}{6})$ .

Уравнения прямых $$BE$$

и

:
$t(-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3},-\frac{2}{3}y) + (x,y)$ ,
$t(-\frac{5}{6}x+\frac{2}{3},-\frac{5}{6}y) + (x,y)$ .

Находим координаты точек $$E$$

и

как точек пересечения соответсвенно $$BE$$

и

c

(для каждой прямой находим $$t$$

, при котором вторая координата обращается в 0 и по нему находим значение первой координаты):
$E(-x+\frac{1}{2}a, 0)$
$D(-x+\frac{4}{5}a, 0)$ .

Тогда $|ED| = \frac{3}{10}a$ .

Ну a площадь $$BDE$$

равна $\frac{|ED|}{|AC|}\cdot 1 = \frac{3}{10}$ .

He уверен, что это школьники это проходят (постарался написать максимально подробно), но признаюсь, c теоремой Менелая я и сам не был знаком до прочтения этой темы (ну или совсем уж хорошо забыл).

yourdomain.com