Анику про механику

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 24 фев 2014, 10:03

Рубен писал(а):Source of the post
То есть, задачу с пульсациями пружинки, в вашей же постановке, вы решать отказываетесь.

Справедливости ради стоит заметить, что это я спровоцировал Аника на пульсации:

grigoriy писал(а):Source of the post
Anik писал(а):Source of the post
Я планирую составить и решить уравнения движения для частного случая - равномерное вращение по окружности. Будут ли возражения?

Не будут, если это будут дифуры.
Аник, шоб шарики с пружинкой не только вращались, но и пульсировали. Заметано?

Может не стоит заставлять человека бросаться грудью на амбразуру?
Интеграл там берущийся, но не слишком изячный . Мне, например, лень было скирдовать всю
эту груду коэффициентов в виде всяких выражений... Оно, может, к концу как-то и упростилось бы,
не знаю, но заниматься вышиванием чё-то нет желания. Лень, одним словом.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 24 фев 2014, 10:13

grigoriy писал(а):Source of the post Справедливости ради стоит заметить, что это я спровоцировал Аника на пульсации:

А, ну раз так, то не стоит. Тем более, уравнения правильные составил.

Оно, может, к концу как-то и упростилось бы, не знаю,

ну, как не знаете, упростилось же (у меня)
Проблема (техническая) только с коэффициентом $$c_1$$

- его вычислять трудоёмко, а $$c_2$$

- легко.

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 24 фев 2014, 10:45

Рубен писал(а):Source of the post
Проблема (техническая) только с коэффициентом - его вычислять трудоёмко, а - легко.

Дык я ж о чем - если выражать решение через изначальные фигуранты, - а там не участвовали
ни $$c_1$$

, ни

- то получится нечто...

З.Ы. Но когда посмотрю на лагранжиан Стандартной модели,

то отчетливо вижу - сижу тут, в песочке ковыряюсь, ещё и недоволен чем-то. :lool:

Рубен · Сообщение **Рубен** » 24 фев 2014, 10:59

grigoriy · Сообщение **grigoriy** » 24 фев 2014, 11:33

Рубен писал(а):Source of the post
Ужас! Это превосходит все ожидания Даже круче, чем знаменитое В самом деле:

Anik · Сообщение **Anik** » 24 фев 2014, 14:06

Ну я вижу вы тут понаписали, пока у мены не было интернета.
А задачку я всё-таки попытаюсь решить!

Anik · Сообщение **Anik** » 24 фев 2014, 14:33

Итак, мы установили, что при невозмущённом движении кинетическая энергия движения системы равна потенциальной энергии взаимодействия. Следует ожидать, что при возмущённом движении будет наблюдаться колебательный периодический процесс обмена потенциальной и кинетической энергий, то потенциальная энергия достигает максимума, то кинетическая. Отношение этих энергий будет колебаться в некотором диапазоне вокруг единицы с каким-то периодом.

Обозначим отношения потенциальной энергии к кинетической энергии буквой $$q$$

, а максимальное значение этого отношения - буквой $$q_0$$

, и зададим в качестве начального условия.
Заметим, что решение для $$q_0=1$$

мы уже нашли – это равномерное вращение по окружности.
Когда $$q$$

достигает значения $$q_0>1$$

, то радиус-векторы точек (и $S_{12}$ ) принимают максимальное значение по модулю, а кинетическая энергия и, следовательно, линейная скорость (и угловая) принимают минимальное значение.
$\displaystyle \begin{cases} 2\dot R_1\dot\varphi+R_1\ddot\varphi=0 \\ m_1\ddot R_1-m_1R_1\dot\varphi^2=-\frac{k(m_1+m_2)}{m_2}R_1 \end{cases}$
Снова попробуем угадать решение этой системы уравнений для возмущённого движения.
Я предполагаю, что движение будет таковым, как будто мы наблюдаем равномерное вращение точек вокруг ц.м. системы с постоянным расстоянием $S_{12}^*$ (как вначале), только под некоторым углом $\alpha$ . Или (что то же самое), движение точки будет выглядеть как проекция кругового движения точки на некоторую плоскость, образующую с плоскостью круговой орбиты угол $\alpha$ .

На приведённом рисунке, радиус вектор точки $$R^*$$

равномерно вращается по окружности в плоскости $$Ï^*$$. Проекция этого движения на плоскость $$Ï$$ и представляет собой то движение точки, которое нас интересует.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 24 фев 2014, 14:42

Anik писал(а):Source of the post Снова попробуем угадать решение этой системы уравнений для возмущённого движения. Я предполагаю, что движение будет таковым, как будто мы наблюдаем равномерное вращение точек вокруг ц.м. системы с постоянным расстоянием $S_{12}^*$ (как вначале), только под некоторым углом $\alpha$ . Или (что то же самое), движение точки будет выглядеть как проекция кругового движения точки на некоторую плоскость, образующую с плоскостью круговой орбиты угол $\alpha$ .

На этот раз угадать не получилось.

Anik · Сообщение **Anik** » 24 фев 2014, 14:53

Почему вы так думаете?

Рубен · Сообщение **Рубен** » 24 фев 2014, 16:15

Anik писал(а):Source of the post
Почему вы так думаете?

потому что радиус будет меняться в зависимости как от угловой скорости, так и от частоты колебаний. Поэтому увеличение радиуса с ростом углом вовсе не обязано (и не будет) так же совпадать, как у эллипса, потому что радиус еще зависит от частоты колебаний, которую мы можем выбирать произвольно.

Гришпута, решил. Судя по траектории? система колеблется не только по радиусу, но и вдоль угловой координаты

Рубен писал(а):Source of the post
Рубен писал(а):Source of the post
Для полярного радиуса любого шарика получается такое уравнение:

$\displaystyle \ddot r r^3 + \Omega^2 r^4 = A, \;\; A = \omega_0^2 r^4_0, \;\; \Omega^2 = k\frac {m_1+m_2}{m_1m_2}.$

$\displaystyle \omega_0, r_0$ - начальные угловая скорость и положение шарика.

Переменные разделяются и уравнение решается в квадратурах, но вот берется ли интеграл?

Интеграл берется. Общее решение, если не накосячил, будет таким:

$$\displaystyle \mathrm{r}(t) = \sqrt{\frac {c_1} {\Omega}\left[ 1 + \sqrt {1 - \left ( \frac {\omega_0 \mathrm{r_0}^2} {ñ_1}\right)^2}\cdot \sin(2\Omega t +c_2) \right]}$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">\displaystyle \varphi (t) = \left[ \omega_0 \left (\frac {\mathrm{r_0}} {\mathrm{r(t)}}\right)^2 \right]\cdot t$$" title="$$ $$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">c_1,c_2$$ - постоянные, определяемые из Н.У., но искать мне их неохота.

$\displaystyle \mathrm{r}(t) = \mathrm{r_0}\sqrt{\cos^2{\Omega t} + \zeta^2 \sin^2{\Omega t} }$

$\displaystyle \varphi (t) = \frac {\omega_0 t} { \cos^2{\Omega t} + \zeta^2 \sin^2{\Omega t}}$

где $\displaystyle \zeta = \frac {\omega_0} {\Omega}$

Вот возможная траектория шарика:

Скорее всего где-то ошибка. Момент импульса не может поменять знак.

yourdomain.com