Что такое поле?

balans · Сообщение **balans** » 10 авг 2013, 14:20

Wild Bill писал(а):Source of the post
Нет, здесь действует закон сохранения энергии.

Если повернуть электрический диполь относительно однородного электрического поля, то энергия всей системы изменится. Закон сохранения энергии действует, но при повороте начального состояния системы (начальные положения частиц, направления векторов-скорости) меняется начальное значение энергии которое далее и сохраняется. Грубо говоря, на поворот "замороженной" системы отностельно поля потребуется некоторое усилие. Ну, пока -что я так всё понимаю.

Ну, в смысле, если электромагнитное поле -тензорное, то оно анизотропное и при повороте части системы в такой среде некоторые величины меняются.

Другой пример- двумерная анизотропная диэлектрическая среда. Её плотность энергии зависит от направления главных осей $w = \frac{1}{2} E^2[\epsilon_1 \cos^2(\phi)+\epsilon_2 \sin^2(\phi)]$ , стало быть её энергия зависит от поворота.

Повозившись понял так, что матрица поворота --оператор, а тензор -функционал. Верно?
То есть ковектор это частный случай тензора. Ковектор отображает множество векторов во множечтво действительных чисел, а тензор во множество векторов.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 10 авг 2013, 15:29

Не так. Опять почитайте тему. Хотя, должен сказать, матрица поворота есть просто представление некоторой группы. Да, это можно назвать оператором. Но с тензором много сложнее, если мы будем строго следовать математическим построениям.

Clone · Сообщение **Clone** » 13 авг 2013, 14:41

Wild Bill писал(а):Source of the post
ЭМ-поле само тензорный объект

На сколько я понял, вы не оспорили замечание folk о том, что
тензор - "это набор чисел имеющих некий физический смысл и которые вроде как можно приписать (измерить) в каждой точке" ?

$\displaystyle F_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$
Какой физический смысл имеют в этом тензорном объекте нули по диагонали матрицы и как их измерить?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 13 авг 2013, 14:46

Зачем измерять нули? В теории, которая проверена экспериментом, тензор эм-поля является антисимметричным, то есть $F_{ij}=-F_{ji}$ , тогда имеем, что $F_{ii}=-F_{ii}$ , то есть элементы на диагонали равны сами себе с обратным знаком. А это есть нули.

folk · Сообщение **folk** » 13 авг 2013, 16:06

Желание иметь одно описание законов в разных базисах, приводит нас к тому что физ величины должны иметь свойства тензоров. С другой стороны некоторые являются ковариантными некоторые контравариантными (координаты и скорости как пример). А есть какое то интуитивное понимание когда физика "величины" определяет когда ко а когда конта?

И еще: По теореме Нетер

Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов.
Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

А какая симметрия приводит к антисимметричности тензора ЭМ поля? Есть еще какие то симметрии которые дают первые интегралы?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 13 авг 2013, 16:29

folk писал(а):Source of the post С другой стороны некоторые являются ковариантными некоторые контравариантными (координаты и скорости как пример).

Нет-нет! Это только наш выбор --- $$x_i v^j = x^i v_j$$

. Если мы дальше углубимся в линейную алгебру, то найдём очень много интересных соотношений для пространств, вплоть до изоморфности.

folk писал(а):Source of the post По теореме Нетер

Классические симметрии теоремы Нётер относятся только к пространству-времени, то есть группе Пуанкане --- бусты (измение скорости, вращения в пространстве Минковского), вращения (обычная SO(3)), и смещения (группа трансляций). Это ОТО. Если убрать смещения по пространству (смещения по времени -- закон сохранения энергии), то мы получим группу Лоренца, то есть СТО. В случае наличия эм-поля должно быть прямое произведение с унитарной группой $$U(1)$$

. Эта группа и определяет свойства тензора эм-поля.

folk · Сообщение **folk** » 13 авг 2013, 16:52

Wild Bill писал(а):Source of the post
Это только наш выбор --- .

Разве? Тут же опускание индекса. Просто повезло что метрический тензор единичный, а вообще говоря это не все равно.

balans · Сообщение **balans** » 13 авг 2013, 16:58

Если менять местами ко- и контра- компоненты, то матрица метрического тензора будет обратной исходной. Верно? То есть вектор и ковектор, грубо говоря взаимообратны?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 13 авг 2013, 16:59

Так опускание и поднятие индекса друг друга компенсируют... И там, и там используется метрический тензор, в любой системе координат, прямой и обратный...

balans · Сообщение **balans** » 18 авг 2013, 18:24

Чтоб лучше понять тензорное исчисление пытаюсь самостоятельно мыслить в этой области.

Пусть $$x $$

-вектор ортонормированной системе евклидового пространства. Квадрат его модуля (метрика):
$$x^T x =x^T I x $$

,
но единичную матрицу можно представить как произведение двух взаимнообратных матриц
$I =A^{-1}A$
причем вообще говоря $detA \not =1$
Тогда скалярное произведение можно представить в виде
$x^T x =x^T A^{-1}Ax = (x^T A^{-1}) Ax =(x^T A^{-1}) A Ix$
но учитывая, что
$I = A^T A^{-1}^T$
получаем
$x^T x = (x^T A^{-1}) AA^T(A^{-1}^Tx)$
где
$x^i= x^T A^{-1}$ компоненты вектора (контравектора) в не ортонормированной системе,
$$x_j=Ax$$

--соответственн ковектор.

$$T^j_i=AA^T$$

--метрический тензор, откуда следует, что он всегда симметричен. Верно?

yourdomain.com