Что такое поле?

balans · Сообщение **balans** » 09 авг 2013, 17:05

Wild Bill писал(а):Source of the post
Да, некоторая аналогия есть.

В комплексном исчислении $$ w =x+ iy $$

является аналогом вектора, а $$ w^* =x- iy $$

--ковектора.

Если перейти к матрицам, то нечто похожее на сопряжение комплесных чисел производится тензором

$\displaystyle \begin{pmatrix} x\\ - y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Таким образом из пространства $\mathcal{V}$ с помощью тензора (или сопряжения) получаю сопряженное пространство $\mathcal{V}'$ и использую. То есть дуальное пространство это просто вспомогательный инструмент и физического смысла не имеет. Верно?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 09 авг 2013, 17:25

balans писал(а):Source of the post Таким образом из пространства $\mathcal{V}$ с помощью тензора (или сопряжения) получаю сопряженное пространство $\mathcal{V}'$ и использую. То есть дуальное пространство это просто вспомогательный инструмент и физического смысла не имеет. Верно?

Нет, аналогия только в похожести записи. Сопряжённое пространство --- это совсем другое пространство с другими объектами, чем исходное векторное пространство. Объекты из векторного пространства и сопряжённого пространства составляют тензор, а тензор имеет физический смысл, он выражает свойства некоторого объекта, например, тензор деформаций. Значит, вектора и ковектора тоже имеют физический смысл.

balans · Сообщение **balans** » 09 авг 2013, 17:42

Wild Bill писал(а):Source of the post
Объекты из векторного пространства и сопряжённого пространства составляют тензор, а тензор имеет физический смысл, он выражает свойства некоторого объекта, например, тензор деформаций. Значит, вектора и ковектора тоже имеют физический смысл.

Не спорю. Тензор деформации переводит векторное поле механического напряжения в сплошной среде в векторное поле смещение (то же самое и с электрической напряженностью и индукцией). Но пространство то общее, поля разные.

Нет, кажется , что что-то путаю.
Я перепутал, тензор деформации переводит радиус вектор положения частцы в её вектор перемещения.
Ха, похоже, что понял. Общим является система базисных векторов. Каждой точке пространства (радиус вектора) соответствует вектор напряженности и смещения. Если начала этих векторов поместить в начале координат, то они образуют аналог радиус- вектора, но в своих пространствах напряжения и смещения.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 09 авг 2013, 19:01

Да, хотя тензор и не зависит от координат, но его представление в виде таблицы чисел всегда связано с некоторым базисом.

Рубен · Сообщение **Рубен** » 10 авг 2013, 09:38

Самопроверка: я так понял, матрица поворота тензором не является?

folk · Сообщение **folk** » 10 авг 2013, 09:50

ИМХО По смыслу некоторая величина *должна* быть тензором если мы хотим чтобы при переходах к другим системам отсчета она оставалась разумно определенной. То есть если мы при смене системы отсчета хотим чтобы наше описание явления не шибко менялось, разумно спросить себя а как меняется эта величина при смене системы отсчета (поворот например). Из желания получить ту же величину и получаются требования к преобразованиям компонент тензора - то есть само определение тензора. А если не тензор то получится что смотришь с разных углов и видишь разные вещи

balans · Сообщение **balans** » 10 авг 2013, 10:04

Рубен писал(а):Source of the post
Самопроверка: я так понял, матрица поворота тензором не является?

При повороте радиус вектор не меняет своей длины, а вот тензор меняет и направление и модуль. Сам тензор может приобразовываться матрицами поворота к диагональному виду. Тогда основные оси тензора совпадают с базисными векторами пространства. Но это мнение дилетанта.

Wild Bill, я нашел литературу по тензорному исчислению: Тензорное исчисление для «чайников». Можно ли это мне читать или есть что-либо получше? Пытаюсь понять по простому, хорошо бы щё и задачи для лучшего понимания.

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 10 авг 2013, 11:06

Рубен писал(а):Source of the post Самопроверка: я так понял, матрица поворота тензором не является?

Вопрос, конечно, философский... Я думаю, что не является, так как матрица повороте есть некоторое представление группы преобразований (поворотов, $$SO(3)$$

). Именно эти матрицы переводят тензор из одной СО в другую.

folk писал(а):Source of the post А если не тензор то получится что смотришь с разных углов и видишь разные вещи

Да, где-то так. Надо всегда помнить, что тензор описывает некоторые геометрические объекты, а практически все величины в физике так или иначе связаны с геометрией. И также не забывать, что скаляр, вектор, матрица... это тоже тензоры.

balans писал(а):Source of the post При повороте радиус вектор не меняет своей длины, а вот тензор меняет и направление и модуль.

Это откуда? Неверно.

balans писал(а):Source of the post Wild Bill, я нашел литературу по тензорному исчислению: Тензорное исчисление для «чайников». Можно ли это мне читать или есть что-либо получше? Пытаюсь понять по простому, хорошо бы щё и задачи для лучшего понимания.

Лучше всего читать книгу Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. У меня книга есть в разных изданиях, но вот хороший вариант.

balans · Сообщение **balans** » 10 авг 2013, 14:00

Wild Bill писал(а):Source of the post
balans писал(а):Source of the post При повороте радиус вектор не меняет своей длины, а вот тензор меняет и направление и модуль.
Это откуда? Неверно.

Я неверно выразился. Матрица поворота сама по себе не меняет инварианты системы, в евклидовом пространстве - расстояние между точками относительные скорости и соответственно энергию, в псевдоевклидовом --интервал между событиями, массу.
Тензор же не поворачивает систему, производится поворот относительно тензора или самого тензора. Например, тензор электромагнитного поля; даже при однородном эл.-магн. поле, поворот (геометрический евклидовый) начального состояния системы электрически заряженных частиц относительно поля меняет энергию системы. Верно?

Wild Bill · Сообщение **Wild Bill** » 10 авг 2013, 14:10

balans писал(а):Source of the post Например, тензор электромагнитного поля; даже при однородном эл.-магн. поле, поворот (геометрический евклидовый) начального состояния системы электрически заряженных частиц относительно поля меняет энергию системы. Верно?

Нет, здесь действует закон сохранения энергии. Именно все проблемы в том, что числа в таблице тензора меняются при переходе в другую систему, но некоторые величины должны сохраняться --- законы сохранения.

yourdomain.com