Есть у меня одна задачка, и решение ее приводит к интегралу
Функции f и g довольно сложные, поэтому для начала укажу асимптотики
Функция g монотонная. Функция f на самом деле осциллирует, так что асимптотика на бесконечности --- это ограничение на модуль сверху.
Мне нужно построить разложение при . Пакость в том, что g(x) обращается в нуль в нуле, поэтому простое разложение подынтегрального выражения не работает.
Есть такой смешной общий метод построения подобных разложений --- преобразование Меллина (не то, которое обратное к Лапласу, другое)
Воспользуемся равенством
где вертикальный контур C проходит между s=0 и s=1. Тогда исходный интеграл можно переписать в виде
Контур C должен проходить там, где сходится интеграл по x, то есть между s=0 и s=1/2. Чтобы вычислить интеграл по s, нужно знать лишь особенности внутреннего интеграла по x, а их есть надежда вычислить и при сложных функциях f, g.
В данном случае предположительно имеется особенность при s=1/2. Но вот выделить ее явно и понять ее характер у меня не получается... Можно и напрямую анализировать исходный интеграл, если есть какие-то другие идеи. Больше всего напрягает вот этот логарифм в асимптотике g.
Разложение интеграла по параметру
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Разложение интеграла по параметру
А какая там асимптотика на бесконечности?
Попробовал посмотреть при .
Вроде в нуле будет .
Но с другой стороны попробовал посчитать численно , что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится (только очень медленно).
Попробовал посмотреть при .
Вроде в нуле будет .
Но с другой стороны попробовал посчитать численно , что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится (только очень медленно).
Код: Выбрать все
q sqrt(q)*I(q)
exp(-10) 0.74091
exp(-20) 0.49663
exp(-30) 0.40187
exp(-40) 0.34737
exp(-50) 0.31061
exp(-55) 0.29619
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Разложение интеграла по параметру
Не понял вопроса. На какой бесконечности?zykov писал(а):Source of the post А какая там асимптотика на бесконечности?
Это и хотелось бы понять аналитически. Другой эталонный интеграл,zykov писал(а):Source of the post что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится
равен, как известно, .
Разложение интеграла по параметру
peregoudov писал(а):Source of the post На какой бесконечности?
peregoudov писал(а):Source of the post разложение при .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Разложение интеграла по параметру
Нормально вы спрашиваете! Если бы я это знал, и темы бы не было.
Разложение интеграла по параметру
Ну так тема - найти разложение.
Сначала надо найти асимптотику и поделить на неё (тем более что тут она какая-то чудная).
А потом уже для результата искать разложение в степенной ряд.
Сначала надо найти асимптотику и поделить на неё (тем более что тут она какая-то чудная).
А потом уже для результата искать разложение в степенной ряд.
Разложение интеграла по параметру
zykov писал(а):Source of the post Вроде в нуле будет .
Но с другой стороны попробовал посчитать численно , что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится (только очень медленно).
Да, там асимптотика поменьше выходит.
Будет .
Вот численно:
Код: Выбрать все
q sqrt(q)*I(q) sqrt(-0.5*q*ln q)*I(q)
exp(-10) 0.74091 1.65673
exp(-20) 0.49663 1.57047
exp(-30) 0.40187 1.55642
exp(-40) 0.34737 1.55347
exp(-50) 0.31061 1.55308
exp(-55) 0.29619 1.55322
Тогда для исходной должен быть рост .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Разложение интеграла по параметру
И проблема уже с тем, чтобы найти первый член разложения, то, что вы назвали асимптотикой. Да и остаток вряд ли так запросто в степенной ряд раскладывается.zykov писал(а):Source of the post Ну так тема - найти разложение.
Забавно, что --- обратная к функция.
В общем, я согласен, что можно рассматривать интеграл с f=1. Потому что
а в двух последних интегралах можно уже положить . Проблема, однако, в том, что функция f, помимо x, зависит еще по крайней мере от одного параметра, а в f(0) эта зависимость пропадает. Так что для полного счастья хотелось бы не только главный, но и следующий член асимптотики вычислить.
Разложение интеграла по параметру
peregoudov писал(а):Source of the post Да и остаток вряд ли так запросто в степенной ряд раскладывается.
Не исключено, что там нужна замена переменной.
Может оказатся, что там степенной ряд не по , а по .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Разложение интеграла по параметру
Замена переменной здесь напрашивается в интеграле, , после чего противный знаменатель становится пушистым, но вот преобразовать остаток подынтегрального выражения и построить какое-то разумное разложение --- очень непросто.
Разложение интеграла по параметру
Заменю [math] на его целую часть n, получается
[math] из этого можно оценки какие-нибудь делать,видимо верхняя [math],нижняя [math],
[math] из этого можно оценки какие-нибудь делать,видимо верхняя [math],нижняя [math],
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей