Разложение интеграла по параметру

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Разложение интеграла по параметру

Сообщение peregoudov » 05 апр 2021, 10:41

Есть у меня одна задачка, и решение ее приводит к интегралу

$$ M=\int_0^\infty\frac{f(x)\,dx}{1/\mu+g(x)}. $$

Функции f и g довольно сложные, поэтому для начала укажу асимптотики

$$ f(x)=\begin{cases} 1-x^2+\ldots,&x\to0,\\ 1/x^3-1/x^4+\ldots,&x\to\infty \end{cases},\quad g(x)=\begin{cases} -x^2\ln x+x^4\ln^2 x+\ldots,&x\to0,\\ 1-1/x+\ldots,&x\to\infty \end{cases}. $$

Функция g монотонная. Функция f на самом деле осциллирует, так что асимптотика на бесконечности --- это ограничение на модуль сверху.

Мне нужно построить разложение при $\mu\to\infty$. Пакость в том, что g(x) обращается в нуль в нуле, поэтому простое разложение подынтегрального выражения не работает.

Есть такой смешной общий метод построения подобных разложений --- преобразование Меллина (не то, которое обратное к Лапласу, другое)

$$ F(s)=\int_0^\infty f(x)x^{s-1}\,dx,\quad f(x)=\frac1{2\pi i}\int_C F(s)x^{-s}\,ds. $$

Воспользуемся равенством

$$ \int_0^\infty \frac{x^{s-1}\,dx}{1+x}=\frac\pi{\sin\pi s},\quad \frac1{1+x}=\frac1{2\pi i}\int_C \frac\pi{\sin\pi s}x^{-s}\,ds, $$

где вертикальный контур C проходит между s=0 и s=1. Тогда исходный интеграл можно переписать в виде

$$ M=\frac1{2\pi i}\int_C ds\,\frac\pi{\sin\pi s}\mu^{1-s}\int_0^\infty g^{-s}(x)f(x)\,dx. $$

Контур C должен проходить там, где сходится интеграл по x, то есть между s=0 и s=1/2. Чтобы вычислить интеграл по s, нужно знать лишь особенности внутреннего интеграла по x, а их есть надежда вычислить и при сложных функциях f, g.

В данном случае предположительно имеется особенность при s=1/2. Но вот выделить ее явно и понять ее характер у меня не получается... Можно и напрямую анализировать исходный интеграл, если есть какие-то другие идеи. Больше всего напрягает вот этот логарифм в асимптотике g.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Разложение интеграла по параметру

Сообщение zykov » 05 апр 2021, 16:16

А какая там асимптотика на бесконечности?
Попробовал посмотреть $$I(q) = \int_0^{0.5} \frac {dt}{q-t^2 \ln t}$$ при $q>0$.
Вроде в нуле будет $1/\sqrt q$.
Но с другой стороны попробовал посчитать численно $\sqrt q \cdot I(q)$, что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится (только очень медленно).

Код: Выбрать все

   q       sqrt(q)*I(q)
exp(-10)   0.74091
exp(-20)   0.49663
exp(-30)   0.40187
exp(-40)   0.34737
exp(-50)   0.31061
exp(-55)   0.29619

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Разложение интеграла по параметру

Сообщение peregoudov » 05 апр 2021, 17:53

zykov писал(а):Source of the post А какая там асимптотика на бесконечности?
Не понял вопроса. На какой бесконечности?

zykov писал(а):Source of the post что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится
Это и хотелось бы понять аналитически. Другой эталонный интеграл,

$$ \int_0^\infty\frac{dx}{1/\mu+x^2}, $$

равен, как известно, $\frac\pi2\sqrt\mu$.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Разложение интеграла по параметру

Сообщение zykov » 05 апр 2021, 18:11

peregoudov писал(а):Source of the post На какой бесконечности?

peregoudov писал(а):Source of the post разложение при $\mu\to\infty$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Разложение интеграла по параметру

Сообщение peregoudov » 05 апр 2021, 19:19

Нормально вы спрашиваете! Если бы я это знал, и темы бы не было. :lol:

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Разложение интеграла по параметру

Сообщение zykov » 05 апр 2021, 19:39

Ну так тема - найти разложение.
Сначала надо найти асимптотику и поделить на неё (тем более что тут она какая-то чудная).
А потом уже для результата искать разложение в степенной ряд.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Разложение интеграла по параметру

Сообщение zykov » 05 апр 2021, 23:08

zykov писал(а):Source of the post Вроде в нуле будет $1/\sqrt q$.
Но с другой стороны попробовал посчитать численно $\sqrt q \cdot I(q)$, что-то он всё убывает и убывает, может вместо положительной константы к нулю стремится (только очень медленно).

Да, там асимптотика поменьше выходит.
Будет $1/\sqrt {-0.5 q \ln q}$.
Вот численно:

Код: Выбрать все

   q       sqrt(q)*I(q)   sqrt(-0.5*q*ln q)*I(q)
exp(-10)   0.74091        1.65673
exp(-20)   0.49663        1.57047
exp(-30)   0.40187        1.55642
exp(-40)   0.34737        1.55347
exp(-50)   0.31061        1.55308
exp(-55)   0.29619        1.55322


Тогда для исходной должен быть рост $$\sqrt\frac{\mu}{\ln \mu}$$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Разложение интеграла по параметру

Сообщение peregoudov » 06 апр 2021, 12:20

zykov писал(а):Source of the post Ну так тема - найти разложение.
И проблема уже с тем, чтобы найти первый член разложения, то, что вы назвали асимптотикой. Да и остаток вряд ли так запросто в степенной ряд раскладывается.

Забавно, что $\sqrt{\mu/\ln\mu}$ --- обратная к $x^2\ln x$ функция.

В общем, я согласен, что можно рассматривать интеграл с f=1. Потому что

$$ M=f(0)\int_0^1\frac{dx}{1/\mu+g(x)}+\int_0^1\frac{f(x)-f(0)}{1/\mu+g(x)}\,dx+\int_1^\infty\frac{f(x)\,dx}{1/\mu+g(x)}, $$

а в двух последних интегралах можно уже положить $1/\mu=0$. Проблема, однако, в том, что функция f, помимо x, зависит еще по крайней мере от одного параметра, а в f(0) эта зависимость пропадает. Так что для полного счастья хотелось бы не только главный, но и следующий член асимптотики вычислить.

zykov
Сообщений: 1005
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Разложение интеграла по параметру

Сообщение zykov » 06 апр 2021, 12:51

peregoudov писал(а):Source of the post Да и остаток вряд ли так запросто в степенной ряд раскладывается.

Не исключено, что там нужна замена переменной.
Может оказатся, что там степенной ряд не по $\mu$, а по $$\sqrt\frac{\mu}{\ln \mu}$$.

peregoudov
Сообщений: 523
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Разложение интеграла по параметру

Сообщение peregoudov » 06 апр 2021, 13:07

Замена переменной здесь напрашивается в интеграле, $\mu g(x)=y$, после чего противный знаменатель становится пушистым, но вот преобразовать остаток подынтегрального выражения и построить какое-то разумное разложение --- очень непросто.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 686
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Разложение интеграла по параметру

Сообщение Ian » 12 апр 2021, 12:49

Заменю [math] на его целую часть n, получается
[math] из этого можно оценки какие-нибудь делать,видимо верхняя [math],нижняя [math],


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей