Опять МФТИ
Добавлено: 23 дек 2019, 09:56
Что-то много понаписали. Путаница вышла. Попробую кратко подвести резюме.
(У меня через спектр, но конечно есть и другие пути.)
У нас оператор легко диагонализируется (оператор дискретной или обычной производной имеет диагональный вид в Фурье базисе).
По теореме Min-max, минимум нормы будет для собственного вектора с минимальным по абсолютной величине собственным значением.
(Без других ограничений это была бы константа для которой нулевое собственное значение.)
Единственное осложнение, это дополнительное ограничение. Для дискретного , для непрерывного .
Ограничение линейное - должен лежать в подпространстве. Можно рассмотреть это подпространство уже в новом базисе (где оператор диагонален), что уже проще, но всё равно несколько сложно.
В данном случае простой фокус позволяет значительно упростить решение.
Сначала дополним вектор/функцию нечётным образом. Для дискретного при , для непрерывного при . Потом дополним везде периодическим образом. Для дискретного , для непрерывного .
Ограничения и следуют из нечётности. Ограничения и следуют из нечётности и периодичности (например, из периодичности, из нечётности, значит оба нули).
Т.е. дополнительных ограничений нет, кроме периодичности и нечётности.
Периодичность даёт дискретный спектр, т.е. ряд Фурье (плюс, в дискретном случае ещё сам ряд периодичен, т.е. имеет всего измерений).
Нечётность при переходе в Фурье базис тоже имеет простую интерпретацию - амплитуды косинусов нулевые, остаются только синусы.
Теперь уже константа с её нулевым собственным значением запрещена нечётностю.
Следующие собственные вектора с минимальными (по абсолютной величине) собственными значениями будут (для непрерывного ). Они комбинируются в (для непрерывного в ).
(У меня через спектр, но конечно есть и другие пути.)
У нас оператор легко диагонализируется (оператор дискретной или обычной производной имеет диагональный вид в Фурье базисе).
По теореме Min-max, минимум нормы будет для собственного вектора с минимальным по абсолютной величине собственным значением.
(Без других ограничений это была бы константа для которой нулевое собственное значение.)
Единственное осложнение, это дополнительное ограничение. Для дискретного , для непрерывного .
Ограничение линейное - должен лежать в подпространстве. Можно рассмотреть это подпространство уже в новом базисе (где оператор диагонален), что уже проще, но всё равно несколько сложно.
В данном случае простой фокус позволяет значительно упростить решение.
Сначала дополним вектор/функцию нечётным образом. Для дискретного при , для непрерывного при . Потом дополним везде периодическим образом. Для дискретного , для непрерывного .
Ограничения и следуют из нечётности. Ограничения и следуют из нечётности и периодичности (например, из периодичности, из нечётности, значит оба нули).
Т.е. дополнительных ограничений нет, кроме периодичности и нечётности.
Периодичность даёт дискретный спектр, т.е. ряд Фурье (плюс, в дискретном случае ещё сам ряд периодичен, т.е. имеет всего измерений).
Нечётность при переходе в Фурье базис тоже имеет простую интерпретацию - амплитуды косинусов нулевые, остаются только синусы.
Теперь уже константа с её нулевым собственным значением запрещена нечётностю.
Следующие собственные вектора с минимальными (по абсолютной величине) собственными значениями будут (для непрерывного ). Они комбинируются в (для непрерывного в ).