задача

tennisru · Сообщение **tennisru** » 12 сен 2011, 20:08

В десятичной записи натуральсного числа х, являющийся степенью двойки, зачеркнули первую цифру и получили число, которое также является степенью двойки. Сколько существует таких х?

ответ можно догадаться 32 и 64. Но как это доказать? Если можете намекните.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 12 сен 2011, 20:27

Очевидно, после вычеркивания первой цифры число уменьшилось в $2^{4n}$ раз, где $n \in \mathbb{N}$ (иначе последняя цифра изменилась бы). Нужно доказать, что $2^{4n}-1$ не делится на степень пятерки выше первой (из чего следует, что первоначальное число могло быть только двузначным).

upd: хотя нет, если $$n$$

само кратно 5, то делится. Но тогда в исходном числе после первой цифры должно быть много нулей. Думаю, как-то с этим надо связать.

Ian · Сообщение **Ian** » 12 сен 2011, 21:13

bas0514 писал(а):Source of the post
Очевидно, после вычеркивания первой цифры число уменьшилось в $2^{4n}$ раз, где $n \in \mathbb{N}$ (иначе последняя цифра изменилась бы). Нужно доказать, что $2^{4n}-1$ не делится на степень пятерки выше первой (из чего следует, что первоначальное число могло быть только двузначным).

upd: хотя нет, если само кратно 5, то делится. Но тогда в исходном числе после первой цифры должно быть много нулей. Думаю, как-то с этим надо связать.

Но вычеркивание равносильно вычитанию цифры и много нулей после нее, в то же время вычитаемое должно делиться на $2^{20}-1=11*31*41*3*5^2$
- на 11,31, 41 оно точно не делится. Противоречие, на 90% Вы решили

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 12 сен 2011, 21:20

Ian писал(а):Source of the post
Но вычеркивание равносильно вычитанию цифры и много нулей после нее, в то же время вычитаемое должно делиться на $2^{20}-1=11*31*41*3*5^2$
- на 11,31, 41 оно точно не делится. Противоречие, на 90% Вы решили

VAL · Сообщение **VAL** » 13 сен 2011, 06:03

tennisru писал(а):Source of the post
В десятичной записи натуральсного числа х, являющийся степенью двойки, зачеркнули первую цифру и получили число, которое также является степенью двойки. Сколько существует таких х?

ответ можно догадаться 32 и 64. Но как это доказать? Если можете намекните.

Элементарная задачка! В прошлом году усилиями лучших умов dxdy всего за неделю справились
См. здесь.

PS: Сейчас посмотрю, как здешние корифеи с ней справились.

PPS: Посмотрел. Если ничего не прозевал, здешние победили!

yourdomain.com

задача

задача

задача

задача

задача

задача

Кто сейчас на форуме