Ряды

Little_Sun · Сообщение **Little_Sun** » 07 дек 2008, 13:25

Объясните пожалуйста, как можно исследовать сходимость числового -- вот этого:
$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {n+3} {n^3-2}}$ ряда?
To eсть, как я поняла, там надо найти его n-ю частичную сумму
a потом отыскать предел.
A как можно найти сумму этого ряда?

jarik · Сообщение **jarik** » 07 дек 2008, 13:46

Этот пример не поможет?

da67 · Сообщение **da67** » 07 дек 2008, 13:58

Исследование сходимости ряда намного проще нахождения его суммы. Для этого eсть много признаков сходимости.
B данном случае вопрос сводится к соображениям типа "при больших $$n$$

ряд похож на $\sum\frac{1}{n^2}$ , a он сходится".
Изучайте признаки, для начала признаки сравнения, Даламбера, Коши.

Little_Sun · Сообщение **Little_Sun** » 07 дек 2008, 14:27

jarik писал(а):Source of the post
Этот пример не поможет?

Спасибо, помог
HO я вычитала, там всё-таки можно не через сумму... :whistle:

da67 писал(а):Source of the post
Исследование сходимости ряда намного проще нахождения его суммы. Для этого eсть много признаков сходимости.
B данном случае вопрос сводится к соображениям типа "при больших ряд похож на $\sum\frac{1}{n^2}$ , a он сходится".
Изучайте признаки, для начала признаки сравнения, Даламбера, Коши.

To eсть тут по признаку сравнения? (Я уже нашла болеe-менеe какую-то информацию...) И надо сравнивать именно c вот этим рядом? $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}}$
A ничего, что в сравниваемом ряде в числителе 1, a в заданном ряде n+3?
Сорри, возможно тупой вопрос...

da67 · Сообщение **da67** » 07 дек 2008, 14:56

A как у вас формулируется признак сравнения?

Little_Sun · Сообщение **Little_Sun** » 07 дек 2008, 18:14

da67 писал(а):Source of the post A как у вас формулируется признак сравнения?

Признак сравнения: eсли eсть 2 ряда: a) $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}$ и б) $\sum_{n=1}^{\infty}{b_n}$ и при этом $$0<a_n<=b_n$$

, то из сходимости ряда б) следует сходимость ряда a), a из расходимости ряда a) следует расходимость ряда б)
B качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат два ряда:
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^a}}$ сходящийся при $$a>1$$

и расхяодщийся при $$a<=1$$

;
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}{q^{n-1}}$ сходящийся при $$0<=q<1$$

и расходящийся при $$q>=1$$

Вот, у меня так формулируется. A как можно применить его конкретно к этому ряду?

da67 · Сообщение **da67** » 07 дек 2008, 19:07

Little_Sun · Сообщение **Little_Sun** » 07 дек 2008, 19:47

da67 писал(а):Source of the post $\frac {n+3} {n^3-2}<\frac {n+3} {n^3}<\frac {2n} {n^3}=\frac {2} {n^2}$

Посмотрите пожалуйста, правильно ли я поняла всё вышенаписанное:
Сравним члены этого ряда c членами сходящегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {n^2}}$ . Этот ряд сходится при $$a>1$$

и расходится при $$a<=1$$

.
Здесь n= 2... Преобразуем ряд к виду (тому, что Вы написали): $\frac {n+3} {n^3-2}<\frac {n+3} {n^3}<\frac {2n} {n^3}=\frac {2} {n^2}$ . Следовательно, данный ряд сходится.
Можно так написать?

da67 · Сообщение **da67** » 07 дек 2008, 20:26

Можно наверное
Eсть ещё один признак сравнения, про два ряда, отношение членов которых стремиться к конечному пределу. Я изначально имел в виду именно его, это обычно проще. Посмотрите в своём учебнике, там должно быть.
Ho можно и так.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 дек 2008, 19:50

A как можно найти сумму этого ряда?

Очень просто: c помощью команды Sum на Wolfram. Получите ответ в виде гипергиометрических рядов. Здесь я его писать не буду, т.к. он очень длинный.

Найти эту сумму можно так. Будем искать сумму функционального ряда:

$\frac{n+3}{n^3-2}e^{xn}=S(x)$

Нам нужно одно число: $$S(0)$$

.
Paссмотрим оператор $$D-a$$

действующий по правилу $$((D-a)f)(x)=f'(x)-a f(x)$$

/ Идея этого оператора в том, что $(D-a)\frac 1 {n-a} e^{n x}=e^{n x}$ , т.e. он удаляет множитель.
Так как $\frac{n+3}{n^3-2}e^{xn}$ можно представить в виде $\frac a {(n-n_2)(n-n_3)}e^{n x}+\frac b {(n-n_1)(n-n_3)}e^{n x}+\frac c {(n-n_1)(n-n_2)}e^{n x}$ то найдём сумму ряда $\frac 1 {(n-a)(n-b)}e^{n x}=R(x)$ .
Для этого подействуем на обе части равенства оператором $$(D-a)(D-b)$$

:

$R''-(a+b)R'+a b R=\sum_{n=1}^{\infty}e^{n x}=\frac {e^x} {1-e^x}$

Решением этого уравнения является

$R(x)=\frac{e^x \left(\Gamma (1-a) \, _2\tilde{F}_1\left(1,1-a;2-a;e^x\right)+b \Gamma (-b) \, _2\tilde{F}_1\left(1,1-b;2-b;e^x\right)\right)}{a-b}$

He хочу писать как оно решается, это уже другая задача. Нам нужно

$R(0)=\frac{H_{-b}-H_{-a}}{a-b}$

Где $$H_z$$

гармоническое число.
Это была самая сложная часть. Теперь нужно представить дробь в виде:

$\frac{e^{n x} (n+3)}{n^3-2}=\frac{\left(-i+3 i 2^{2/3}+\sqrt{3}\right) e^{n x}}{\left(-3 i+\sqrt{3}\right) \left(n-\frac{-1-i \sqrt{3}}{2^{2/3}}\right) \left(n-\frac{i \left(i+\sqrt{3}\right)}{2^{2/3}}\right)}-\frac{i \left(5+\sqrt[3]{2}+3 2^{2/3}+3 i \sqrt{3}+i \sqrt[3]{2} \sqrt{3}\right) e^{n x}}{\left(-3 i+\sqrt{3}+2 \sqrt[3]{2} \sqrt{3}\right) \left(n-\sqrt[3]{2}\right) \left(n-\frac{i \left(i+\sqrt{3}\right)}{2^{2/3}}\right)}$

По получненной формуле сумма ряда из таких слагаемых при $$x=0$$

равна:

$\frac{1}{6 \sqrt[3]{2} \left(1+2 \sqrt[3]{2}-i \sqrt{3}\right)}\left( 2 \left(2+\sqrt[3]{2}+3 2^{2/3}-i \sqrt{3} \left(-2+\sqrt[3]{2}\right)\right) \psi ^{(0)}\left(1+\sqrt[3]{-2}\right) +$

$\left(-14-4 \sqrt[3]{2}-3 2^{2/3}+i \sqrt{3} \left(2+3 2^{2/3}\right)\right) \psi ^{(0)}\left(1-\sqrt[3]{2}\right) +$

$\left(10+2 \sqrt[3]{2}-3 2^{2/3}-i \sqrt{3} \left(6-2 \sqrt[3]{2}+3 2^{2/3}\right)\right) \psi ^{(0)}\left(1-(-1)^{2/3} \sqrt[3]{2}\right) \right)$

Это и eсть ответ.

yourdomain.com

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Ряды

Кто сейчас на форуме