Решить уравнение

Albe · Сообщение **Albe** » 16 окт 2013, 20:46

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Albe писал(а):Source of the post
Ваш ответ вроде верный.

В смысле - арккотангенс? Вообще, с этими иррациольными числами, да особенно в таком контексте, сплошная головная боль: как их представить в человеческом облике?

Смиритесь с тем, что иногда никак

Вообще, по-моему, всё-таки, там арктангенс.
Книжный ответ подставьте, а то, может, он неверен.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 17 окт 2013, 11:05

Albe писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Albe писал(а):Source of the post
Ваш ответ вроде верный.

В смысле - арккотангенс? Вообще, с этими иррациольными числами, да особенно в таком контексте, сплошная головная боль: как их представить в человеческом облике?

Смиритесь с тем, что иногда никак

Вообще, по-моему, всё-таки, там арктангенс.
Книжный ответ подставьте, а то, может, он неверен.

Вы правы - там действительно ошибочный ответ, при подстановке 30 градусов получилось 4 в ответе, никак не 0! ОНИ, видать, попали в ловушку школьного мышления и решали примитивно, я после мытарств понял, как: первую дробь представив в виде тангенса половинного угла, использовав формулу приведения для котангенса, они затем просто сложили их и, "успешно" прийдя к формуле косинуса разности, промаршировали прямиком в тупик.
У меня же сразу получился арккотангенс, а с применением универсальной триг. подстановки - арктангенс. Два вопроса: (1)какой из них предпочесть? (2)как после этого верить этим ответам - может именно я правильно решил, а из-за них я теряю время в мучительных попытках прийти к "их" ответам? <_<

zam2 · Сообщение **zam2** » 17 окт 2013, 11:34

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Вы правы - там действительно ошибочный ответ, при подстановке 30 градусов получилось 4 в ответе, никак не 0! ОНИ, видать, попали в ловушку школьного мышления и решали примитивно, я после мытарств понял, как: первую дробь представив в виде тангенса половинного угла, использовав формулу приведения для котангенса, они затем просто сложили их и, "успешно" прийдя к формуле косинуса разности, промаршировали прямиком в тупик.
У меня же сразу получился арккотангенс, а с применением универсальной триг. подстановки - арктангенс. Два вопроса: (1)какой из них предпочесть? (2)как после этого верить этим ответам - может именно я правильно решил, а из-за них я теряю время в мучительных попытках прийти к "их" ответам?

О каком уравнении речь? Вот об этом
$\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ ?
Если "Да", то там ответ правлильный.
Вот что выдает Maple:

Здесь _Z1 - принятое в Maple обозначение множества целых чисел.
Подставлять надо (-30 градусов).

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 17 окт 2013, 12:54

zam2 писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post Вы правы - там действительно ошибочный ответ, при подстановке 30 градусов получилось 4 в ответе, никак не 0! ОНИ, видать, попали в ловушку школьного мышления и решали примитивно, я после мытарств понял, как: первую дробь представив в виде тангенса половинного угла, использовав формулу приведения для котангенса, они затем просто сложили их и, "успешно" прийдя к формуле косинуса разности, промаршировали прямиком в тупик.
У меня же сразу получился арккотангенс, а с применением универсальной триг. подстановки - арктангенс. Два вопроса: (1)какой из них предпочесть? (2)как после этого верить этим ответам - может именно я правильно решил, а из-за них я теряю время в мучительных попытках прийти к "их" ответам?
О каком уравнении речь? Вот об этом
$\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ ?
Если "Да", то там ответ правлильный.
Вот что выдает Maple:

Здесь _Z1 - принятое в Maple обозначение множества целых чисел.
Подставлять надо (-30 градусов).

Гм, ну да. А как тогда проверить те два альтернативных решения? Это не так просто.

СергейП

Ну конечно ответ в книжке верный.

И вопрос - а зачем это надо?

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Требуется решить $\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ . У меня никак не получается привести к ответу:
...
В ответе опять запись $\displaystyle x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . Почему так?

Зачем вообще приводить к ответу?
Может быть надо научиться решать?
Это разные вещи.
Но и тут вопросы - зачем уметь решать? Что-то такое сдавать придётся или самому научиться решать для каких то целей?

В любом случае вот это преобразование

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Требуется решить $\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ . У меня никак не получается привести к ответу:
$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \ctg x = -2 \Leftrightarrow \tg \frac{x}{2} + \frac{\ctg^2 \frac{x}{2} - 1}{2\ctg \frac{x}{2}} = - 2$

Это как было получено? Самостоятельными преобразованиями? Тогда их прямо здесь и надо показывать.
Или какие-то хитрые формулы, в интернете или в дурных книжках найденные?
Вот их применять нельзя категорически, по крайней мере пока нет умения их вывести самостоятельно и, одновременно, понять - когда их можно применять и когда нельзя.
Иначе очень вероятны ошибки, а учебная ценность просто ноль!

И ещё - решать надо не сложные задачи, а простые, пока не появиться твёрдый навык решения, в том числе простейшие алгебраические преобразования надо усвоить твёрдо.

В данном случае решаем просто
$\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$

Сначала вспомним про период котагенса, получим
$\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(x) = 0$
или
$\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \frac {\cos x}{\sin x} = 0$

Теперь ОДЗ следует записать: $1 + \cos x \ne 0 \;\;\; \sin x =0$
Можно оставить в таком виде, не расписывать далее.

Теперь приводим к общему знаменателю
$\displaystyle \frac{\sin^2 x+2\sin x (1 + \cos x)+\cos x (1 + \cos x) }{\sin x (1 + \cos x) } = 0$

На ОДЗ:
$\displaystyle \sin^2 x+2\sin x (1 + \cos x)+\cos x (1 + \cos x) = 0$

$\displaystyle \sin^2 x+2\sin x + 2\sin x \cos x + \cos x + \cos^2 x = 0$

$\displaystyle (1+\cos x) + 2\sin x (1+\cos x) = 0$

$\displaystyle (1+\cos x) (1+ 2\sin x) = 0$

$\displaystyle 1+ 2\sin x = 0$

$\displaystyle \sin x = -\frac 12$

$\displaystyle x = (-1)^{n + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

zam2 · Сообщение **zam2** » 17 окт 2013, 13:19

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Гм, ну да. А как тогда проверить те два альтернативных решения? Это не так просто.

Все три варианта записи решения верные. Вот что дает Maple:

Зачем школьников мучают такой ерундой?

СергейП

zam2 писал(а):Source of the post Все три варианта записи решения верные.

Это не так, там везде есть ошибки или описки

ILJA Sh. писал(а):Source of the post $\displaystyle x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Здесь разные буковки - k и n

ILJA Sh. писал(а):Source of the post $\displaystyle x = 2\arcctg(-2 \pm \sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

А тут наверняка был котагенс половинного аргумента, тогда на 2 надо было всю правую часть умножать, возможный верный ответ
$\displaystyle x = 2\arcctg(-2 \pm \sqrt{3}) + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Не надо вводить в заблуждение

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 17 окт 2013, 19:07

Сергей, мне не понятна Ваша реакция - зачем бросаться такими громкими выражениями? Я никого в заблуждение не ввожу, но за Ваш ответ спасибо. Это первое. Второе: для меня этот пример не кажется столь уж сложным, чтобы откладывать на потом, решил и по-сложнее. Вы, видно, пропустили мой пост выше, где в качестве вопроса я представил свое первоначальное решение и именно это я имел в виду под словами "привести к ответу" да это и так должно было быть очевидно. Признаю - не очень удачно выразился, но не надо так уж цепляться к словам. В качестве подтверждения привожу два моих собственных решения:

$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \ctg x = -2 \Leftrightarrow \tg \frac{x}{2} + \frac{\ctg^2 \frac{x}{2} - 1}{2\ctg \frac{x}{2}} = - 2 \Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{2 + \ctg^2 \frac{x}{2} - 1}{2\ctg \frac{x}{2}} = -2 \Leftrightarrow$ $\displaystyle \ctg^2 \frac{x}{2} + 4\ctg\frac{x}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\displaystyle x = 2\arcctg(-2 \pm \sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

Если же применяю универсальную тригонометрическую подстановку, то получается $\displaystyle \tg^2 \frac{x}{2} + 4\tg\frac{x}{2} + 1 = 0$ $\displaystyle x = 2\arctg(-2 \pm \sqrt{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ .
Третий способ:

$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \ctg x = -2 \Leftrightarrow$ $\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \frac{\cos x}{\sin x} = -2 \Leftrightarrow$ $\displaystyle \frac{\sin \frac{x}{2}\sin x + \cos x \cos \frac{x}{2}}{\sin x \cos \frac{x}{2}} = -2 \Leftrightarrow$ $\displaystyle \cos \left(x - \frac{x}{2}\right) = -2\cos \frac{x}{2}\sin x \rightarrow$
$\displaystyle x = (-1)^{n + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ .

Думаю, этого достаточно, чтобы убедить кое-кого, что с формулами у меня проблем нет - у меня имеется целая тетрадь с их выведением, которая всегда рядом, кстати. Да и не в формулах дело. В первый раз опустил ряд очевидных выкладок, не потому,что не знаю или по "дурным" учебникам занимаюсь (может, подскажете авторов, почитаю, думал о таких на этом форуме не услышу), а потому,что хотел сэкономить время, так как со смартфона печатать формулы не слишком удобно. Описки учел. Интересует один-единственный вопрос: равнозначны ли эти решения?

zam2 · Сообщение **zam2** » 17 окт 2013, 19:17

"Не надо вводить в заблуждение".

ILJA Sh. писал(а):Source of the post Сергей, мне не понятна Ваша реакция - зачем бросаться такими громкими выражениями?

Это я ввожу. Замечание адресовано мне.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 17 окт 2013, 19:24

zam2 писал(а):Source of the post
"Не надо вводить в заблуждение".
ILJA Sh. писал(а):Source of the post Сергей, мне не понятна Ваша реакция - зачем бросаться такими громкими выражениями?
Это я ввожу. Замечание адресовано мне.

Да никто тут никого не вводит в заблуждение. Речь об описках и интерпретации решений. Я уже понял из Вашего сообщения, что есть две записи решения.

yourdomain.com