Решить уравнение

Andrew58 · Сообщение **Andrew58** » 21 сен 2013, 14:29

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
А нуль - это угол два пи эн?

Вас удовлетворит, если я отвечу - не всегда, в частности, не всегда, и вообще, не всегда. Вас просто "выталкивают" на следующий уровень обобщения. Это не всегда просто и безболезненно - не нужно стеснятся усилий немного "пододвинуть" удобно сложившееся восприятие...

jarik · Сообщение **jarik** » 21 сен 2013, 22:32

ILJA Sh. писал(а):Source of the post выполняется только при k = 0 и k = -1". А я подставил k = 2 , например, и тоже всё сошлось.

Ну где ж сошлось то?! При к=2 и вообще синус будет либо единица, либо минус единица, в то время как левая часть равенства будет либо возрастать, либо уменьшаться в зависимости от выбора к...

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 26 сен 2013, 17:22

Andrew58 писал(а):Source of the post
ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Ой, там по рассеяности напортачил на этапе непосредственных вычислений. Ответ - 39

Не 19?

19 - это количество членов ряда, а икс равен 39, в чем можно убедится, если рассмотреть получившееся выражение $\displaystyle \frac{x + 1}{(x + 1)^2}\cdot n = \frac{1}{x + 1} \cdot n = \frac{19}{40}$ . Здесь х нечетен: x = 2n + 1.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 14 окт 2013, 12:13

1. Имеем уравнение $\displaystyle \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

Получилось два варианта решения:

1.1. Путем сведения к однородному уравнению

$\displaystyle \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$

1.2. Через преобразование суммы в произведение

$\displaystyle 2\sin \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \cdot 2\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \Leftrightarrow \cos x - \sin x = 0$

1.1. Ответ: $\displaystyle x = 2\arctg(-1 \pm \sqrt{2}) +2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$

1.2. Ответ: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

В задачнике ответ второй. Но разве нельзя решить первым способом? Такие ли уж разные решения со вторым?

2. Имеем уравнение $\displaystyle (1 - \ctg x)(1 + \sin 2x) = 1 + \ctg x$

Получилось два варианта решения:

2.1. Путем сведения к уравнению

$\displaystyle 1 + \sin 2x = \frac{1 + \ctg x}{1 - \ctg x} \Leftrightarrow \cos x(1 - \sin x \cos x - \sin^2 x) = 0 \Leftrightarrow \begin{aligned} \ctg x \ne 1 \\ \sin x \ne 0 \\ \cos x = 0\\ \tg x = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} x \ne \frac{\pi}{4} + \pi n \\ x \ne \pi n \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \end{aligned}, n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow$

$\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2.2. Путем сведения к уравнению

$\displaystyle \left(\frac{\sin x - \cos x}{\sin x} \right)(\cos x + \sin x)^2 = \left(\frac{\sin x + \cos x}{\sin x} \right) \Leftrightarrow \begin{aligned}\tg x = -1 \\ \sin^2 x - \cos^2 x = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \begin{aligned} x = - \frac{\pi}{4} + \pi n \\ x = \frac{\pi}{2} + \pi n \end{aligned}, n \in \mathbb{Z}$

В задачнике ответ также второй, поэтому вопрос: почему вроде бы корректные способы решения приводят к разным ответам?

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 окт 2013, 13:16

ILJA Sh. писал(а):Source of the post 1.1. Ответ: $\displaystyle x = 2\arctg(-1 \pm \sqrt{2}) +2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle 2\arctg(-1 + \sqrt{2})= \frac {\pi} {4}$
$\displaystyle 2\arctg(-1 - \sqrt{2})= \frac {-3\pi} {4}$

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 14 окт 2013, 15:32

zam2 писал(а):Source of the post
$\displaystyle 2\arctg(-1 + \sqrt{2})= \frac {\pi} {4}$
$\displaystyle 2\arctg(-1 - \sqrt{2})= \frac {-3\pi} {4}$

А как это вычислить?

zam2 · Сообщение **zam2** » 14 окт 2013, 18:20

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
zam2 писал(а):Source of the post $\displaystyle 2\arctg(-1 + \sqrt{2})= \frac {\pi} {4}$
$\displaystyle 2\arctg(-1 - \sqrt{2})= \frac {-3\pi} {4}$
А как это вычислить?

$\displaystyle tg \frac {\pi} {8}=\frac {1-cos {\frac {\pi} {4}}} {sin {\frac {\pi} {4}}}=\frac { 1-\frac {\sqrt{2}} {2}} {\frac {\sqrt{2}} {2}}=\frac {2-\sqrt{2}} {\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
Второе аналогично.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 15 окт 2013, 23:38

Требуется решить $\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ . У меня никак не получается привести к ответу:
$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \ctg x = -2 \Leftrightarrow \tg \frac{x}{2} + \frac{\ctg^2 \frac{x}{2} - 1}{2\ctg \frac{x}{2}} = - 2 \rightarrow$ $\displaystyle x = 2\arcctg(-2 \pm \sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . Если же применяю универсальную тригонометрическую подстановку, то получается $\displaystyle x = 2\arctg(-2 \pm \sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . В ответе опять запись $\displaystyle x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . Почему так?

А, всё, решил. Но вот такой разнобой с записями непонятен всё равно

Albe · Сообщение **Albe** » 16 окт 2013, 14:04

ILJA Sh. писал(а):Source of the post
Требуется решить $\displaystyle \frac{\sin x}{1 + \cos x} + 2 + \ctg(\pi + x) = 0$ . У меня никак не получается привести к ответу:
$\displaystyle \tg \frac{x}{2} + \ctg x = -2 \Leftrightarrow \tg \frac{x}{2} + \frac{\ctg^2 \frac{x}{2} - 1}{2\ctg \frac{x}{2}} = - 2 \rightarrow$ $\displaystyle x = 2\arcctg(-2 \pm \sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . Если же применяю универсальную тригонометрическую подстановку, то получается $\displaystyle x = 2\arctg(-2 \pm \sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . В ответе опять запись $\displaystyle x = (-1)^{k + 1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ . Почему так?

А, всё, решил. Но вот такой разнобой с записями непонятен всё равно

Вообще, попробуйте сами книжный ответ подставить в уравнение и увидете, подходит или нет. Ваш ответ вроде верный.

ILJA Sh. · Сообщение **ILJA Sh.** » 16 окт 2013, 15:05

Albe писал(а):Source of the post
Ваш ответ вроде верный.

В смысле - арккотангенс? Вообще, с этими иррациольными числами, да особенно в таком контексте, сплошная головная боль: как их представить в человеческом облике?

yourdomain.com