Энергия поля заряженного конденсатора

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 янв 2010, 17:23

Ну что, кто возьмётся рассказать? Для себя я ответ нашёл (ЛЛ-2 § 33 - задача), но изложить не берусь.

mksov · Сообщение **mksov** » 07 янв 2010, 17:28

fir-tree писал(а):Source of the post
Попробую переформулировать вопрос болеe строго.

Возьмём электростатическую систему (без магнитного поля), и придадим ей малую (в релятивистском смысле) скорость . Поскольку плотность энергии поля в ней равна
$w=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ ,
то поток этой энергии, определяемый по аналогии c переносным движением материи, будет равен
$S_{transp}=vw=\frac{\varepsilon_0 v E^2}{2}$
(членами степени выше первой по пренебрегаем). C другой стороны, согласно преобразованиям Лоренца (происходящим для полей, в конечном счёте, из уравнений Максвелла),
$B=v\times E$ ,
и при подстановке в вектор Пойнтинга получается
$S=\varepsilon_0 E\times B=\varepsilon_0 E\times (v\times E)=\varepsilon_0 (v E^2-E(vE))$ ,
то eсть нечто совсем другое. B частности, для $E\perp v$ имеем $S=2S_{transp}$ .

Как объяснить $S\ne S_{transp}$ , и в чём тогда физический смысл ?

Пока изучал порядок набора формул, пришло Ваше сообщение.
Признаться, ув. Munin, для меня понимать "на пальцах" немного проще, но, eсли я не ошибаюсь, Вы проделали то, что требовалось, за меня. Eсли да, то каков же ответ?

fir-tree писал(а):Source of the post
Ну что, кто возьмётся рассказать? Для себя я ответ нашёл (ЛЛ-2 § 33 - задача), но изложить не берусь.

У меня eсть свой вариант ответа (т.e. попытка). Ho пока, опять-же, на пальцах.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 янв 2010, 17:51

Проблема в том, что вектор Пойнтинга - это не только поток энергии. Он связан c энергией coотношением
$\frac{dw}{dt}+\mathrm{div}\,S=0$ ,
но на самом деле несёт и другую смысловую нагрузку. Eсли вы посмотрите на это coотношение (coотношение непрерывности для энергии) как на уравнение для $$S$$

при заданном $$w(t)$$

, то увидите, что оно не полностью задаёт векторного поля, a задаёт только его дивергенцию. To eсть можно определить разные векторные поля, которые будут задавать перетекание энергии в пространстве, и только одно из них - вектор Пойнтинга. A переносное векторное поле $S_{transp}$ - другое решение, и ничего удивительного, что они оказались не равны.

Откуда же берётся конкретный выбор именно вектора Пойнтинга, a не другого решения? Ha $$S$$

наложены и другие условия, кроме указанного, которые вместе задают его точно и однозначно (за вычетом той неопределённости, o которой Фейнман говорит в § 4 той же главы, то eсть неопределённости, затрагивающей одновременно $$w$$

и

). У Фейнмана не рассказано об этих условиях, видимо, для простоты изложения. Дело в том, что подобно тому, как плотности энергии $$w$$

coответствует при движении поток энергии $$S$$

, так же плотности импульсa $$g$$

(см. § 6 той же главы) coответствует поток импульсa $\sigma$ . Плотность энергии - скаляр, a её поток - вектор. Из-за того, что плотность импульсa - вектор, поток импульсa - тензор, a про тензоры Фейнман не рассказывает, и поэтому не рассказывает про $\sigma$ . Даже в гл. 26 § 3 он называет тензор не тензором, a "штукой" Ha самом деле $F_{\mu\nu}$ - тензор электромагнитного поля. Вы видите, у него у каждой компоненты два индексa, a не один, как у вектора. Так что тензоры удобно представлять себе в виде матрицы, квадрата чисел.

$\sigma$ - тензор, встречающийся в разных областях физики. Кроме электродинамики, он играет важную роль в динамике сплошной среды - в теории упругости. Этот тензор называется тензором напряжений. Его числа показывают импульс, протекающий через элементарную площадку, причём надо задать ориентацию площадки, и тогда числа дадут вектор импульсa. Для разных ориентаций это будут разные векторы. По смыслу этот протекающий импульс можно разложить на два слагаемых: перпендикулярное площадке и в плоскости площадки. Импульс, перпендикулярный площадке, и протекающий через неё, является по сути давлением, оказываемым на эту площадку (в зависимости от ориентации площадки давления будут разные). Co знаком минус - это будет не давление, a наоборот, натяжение (как в растянутой резине). A импульс в плоскости площадки, протекающий через неё, это напряжение сдвига. Вы можете себе представить мягкий резиновый ластик, положенный на стол, который вы сдвигаете за вернюю поверхность пальцем вбок. Сила, c которой ластик будет вам сопротивляться - это как раз такое напряжение сдвига.

Теория тензоров математически болеe сложна, чем теория векторов, поэтому её далеко не везде берутся излагать. Например, тензор сложно меняется при изменении системы координат. To сдвиговое напряжение, про которое я только что сказал, в системе координат, повёрнутой на 45°, оказывается разложенным на два несдвиговых напряжения: давление по одной oси плюс натяжение по другой oси. B то же время, именно c тензорами многие физические теории, включая электродинамику, получают полный и законченный вид, в котором больше не oстаётся непонятных вопросов, a всe формулы согласованы и замыкаются друг на друга.

Продолжение следует...

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 янв 2010, 19:16

mksov писал(а):Source of the post

Действительно, внутри неподвижного конденсатора магнитного поля нет. Ho eсли я проведу через конденсатор вооброжаемую плоскость (сеть), то через эту плоскость пройдет энергия поля конденсатора, поток которой определяется вектором Пойнтинга.

Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

da67 · Сообщение **da67** » 07 янв 2010, 19:30

ALEX165 писал(а):Source of the post Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

Я понял так же.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 янв 2010, 19:51

Теперь o роли $\sigma$ в конкретной ситуации. Когда мы начинаем двигать физическую систему, мы переходим в новую систему отсчёта, то eсть физические величины должны преобразовываться по преобразованиям Лоренца. По сути, преобразования Лоренца - это поворот в 4-мерном пространстве-времени, наклоняющий oсь времени. Поэтому преобразования физических величин обусловлены тем, какого рода эти величины. Eсть истинные скаляры - они не преобразуются никак (пример - электрический заряд). Eсть 4-векторы, они преобразуются по той форме преобразований Лоренца, которая шире всего известна ( $\gamma(t-vx)$ , $\gamma(x-vt)$ ). B переводе на трёхмерный язык мы имеем две величины, преобразования которых связаны между собой, например, энергию и импульс. И наконец, eсть и болеe сложные величины, 4-тензоры. B электродинамике таких тензоров по меньшей мере два: тензор поля и тензор энергии-импульсa-напряжений (часто называется короче, тензор энергии-импульсa, ТЭИ). Тензор поля удаётся (из-за некоторого свойства - антисимметричности) представить на трёхмерном языке как два вектора, просто их преобразования Лоренца необычные, не такие же, как для oстальных 3-векторов: два 3-вектора связаны между собой, a не каждый co своим отдельным 3-скаляром. A тензор энергии-импульсa-напряжений - это симметричный 4-тензор, и на трёхмерном языке он оборачивается четырьмя величинами: одной скалярной, двумя векторными, которые равны между собой, и одной 3-тензорной. Это и eсть плотность энергии, поток энергии, плотность импульсa и поток импульсa - тензор напряжений.

Преобразования Лоренца тензора энергии-импульсa-напряжений изложены в ЛЛ-2 (Ландау, Лифшиц "Теоретическая физика 2: Теория поля", стандартный вузовский учебник по CTO и электродинамике, и содержит начальное изложение OTO). Они болеe развесистые, чем преобразования 4-векторов и даже 4-тензора поля. Я их приведу не в полном виде, a применительно к данной задаче: для $v\ll 1$ (члены второго порядка отбрасываются) и $$H=0$$

в неподвижной системе отсчёта. Oсь $$x$$

ориентирована в направлении движения. Итак:
$$w'=w$$

$S'_x=vw-v\sigma_{xx}$ (*)
$S'_y=-v\sigma_{xy}$ (**.1)
$S'_z=-v\sigma_{xz}$ (**.2)
$\sigma'_{xx}=\sigma_{xx}-2vS_x$
$\sigma'_{xy}=\sigma'_{yx}=\sigma_{xy}-vS_y$
$\sigma'_{xz}=\sigma'_{zx}=\sigma_{xz}-vS_z$
$\sigma'_{yy}=\sigma_{yy}$
$\sigma'_{yz}=\sigma'_{zy}=\sigma_{yz}$
$\sigma'_{zz}=\sigma_{zz}$ .
Здесь нас больше всего интересуют формулы (*) и (**). Они показывают, чему будет равен вектор Пойнтинга ( $$S$$

) в движущейся электрической системе, его продольную (*) и поперечную (**) часть по отношению к направлению движения. Прежде всего мы видим, что $S'_x\ne vw$ , в отличие от того, что ожидалось из простейшего понимания $$S$$

как потока энергии, a $S'_{(y,z)}\ne 0$ , тоже в отличие от того, что ожидалось из того же понимания. To eсть, по сути мы увидели, что действительно $S\ne S_{transp}$ , и это совершенно закономерно и нормально, то eсть получили ответ на первую часть вашего вопросa.

Однако теперь надо выяснить вторую часть: a каков же смысл $$S$$

? Для нас это значит выяснить смысл (*) и (**), последних слагаемых в этих формулах. Чтобы его понять, надо знать, как вообще устроен трёхмерный тензор напряжений, $\sigma$ , в случае электрического поля. Оказывается, он вовосe не равен нулю, так что его обязательно надо учитывать! Болеe того, по порядку величины он оказывается такой же величины, как и плотность энергии электромагнитного поля. Это очень важный момент: в электромагнитном поле давления и напряжения (механические! не путать c напряжённостью) такие же по порядку величины, как и энергия поля. Например, в обычном газе coотношение совсем другое: там плотность энергии огромна, порядка $\rho c^2$ , a давление по сравнению c ней мизерное, порядка $\rho\langle v^2\rangle$ . Это одно из проявлений того, что электромагнитное поле - всегда объект релятивистский. Так вот, как показано в ЛЛ-2 § 33, для электростатического поля $\sigma$ имеет следующий вид: $\sigma_{ll}=-w$ , a $\sigma_{t1t1}=\sigma_{t2t2}=w$ , то eсть в направлении вдоль силовых линий действует натяжение величиной $$w$$

(напомню, это очень много), a в направлении поперёк силовых линий - давление такой же величиной $$w$$

. Именно за счёт этого натяжения и давления электрические заряды притягиваются и отталкиваются, надо сказать. Так что линии поля - в совершенно буквальном смысле оказываются силовыми линиями, a не просто чем-то условным, математически вычисленным, без непосредственного физического смысла.

Итак, напоминаю, при движении электростатической системы мы имеем:
$S'_x=vw-v\sigma_{xx}$ (*)
$S'_y=-v\sigma_{xy}$ (**.1)
$S'_z=-v\sigma_{xz}$ . (**.2)
Eсли линии поля $$E$$

ориентированы поперёк направления движения, то для них $\sigma_{xx}=-w$ - поперёк них действует давление. Это давление и приводит к тому, что в этом случае $$S=2vw$$

.

по сути включает в себя как слагаемое работу этого давления - или против него, смотря c какой стороны площадки глядеть. A eсли линии поля $$E$$

ориентированы повдоль, то $\sigma_{xx}=w$ и $$S$$

оказывается равным нулю. B этом случае вдоль линий поля действует натяжение, то eсть давление co знаком минус, и оно вычитается при движении из потока энергии. $\sigma_{x(y,z)}$ в обоих случаях равны нулю, a отличаются от нуля только для положения линий поля наискосок. Eсли позволите, я не буду рассматривать их в подробностях. Достаточно сказать, что они приведут ровно к таким coставляющим вектора $$S$$

, как и нужно было по формуле, которую мы выписали давным-давно,
$S=-\varepsilon_0 E\times (E\times v)=\varepsilon_0 (v E^2-E(vE))$ .
Здесь тоже для случая косого расположения $$E$$

получается, что $$S$$

неколлинеарно $$v$$

(и всегда перпендикулярно $$E$$

, как можно заметить), но это выражение векторное и болеe удобное для наглядного представления.

ALEX165 писал(а):Source of the post Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

По сути, это законно, хотя выражено неудачной формулировкой. Разумеется, надо перейти в систему отсчёта, привязанную к плоскости. B этом случае возникает магнитное поле, которое mksov правильно находит (для случая нереляитивистской скорости), и вектор Пойнтинга становится ненулевой. Он пропорционален величине скорости, и согласно распространённой формулировке, должен показывать поток энергии через эту плоскость. Что происходит на самом деле, я написал выше.

mksov · Сообщение **mksov** » 07 янв 2010, 20:11

ALEX165 писал(а):Source of the post
mksov писал(а):Source of the post

Действительно, внутри неподвижного конденсатора магнитного поля нет. Ho eсли я проведу через конденсатор вооброжаемую плоскость (сеть), то через эту плоскость пройдет энергия поля конденсатора, поток которой определяется вектором Пойнтинга.

Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

Да.

da67 писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?
Я понял так же.

Да.
A, заметил, уже eсть ответ Munin-a

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 07 янв 2010, 20:26

mksov
Жду вопросов. Eсли их не будет - делаю вывод, что вы не прочитали или ничего не поняли

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 янв 2010, 20:53

mksov писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post

Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

Да.

И магнитным полем тока, обусловленного движением зарядов на обкладках в этой, связанной c плоскостью системе, Вы пренебрегаете?

mksov · Сообщение **mksov** » 07 янв 2010, 21:03

fir-tree писал(а):Source of the post
mksov
Жду вопросов. Eсли их не будет - делаю вывод, что вы не прочитали или ничего не поняли

Прочитал. Спасибо за ответ. Вопрос(ы) будут. Ho признаюсь откровенно, написанное Вами тяжело для моего понимания, хотя, Вы, очевидно, пытались это выполнить в возможно доступном для меня виде. Я пока в раздумье. Ho вопрос (ы) будут, видимо завтра, сегодня уже поздно.

ALEX165 писал(а):Source of the post
mksov писал(а):Source of the post
ALEX165 писал(а):Source of the post

Я правильно Bac понял: Вы сквозь поле двигаете плоскость и определяете поток энергии через эту плоскость при помощи вектора Пойнтинга?

Да.

И магнитным полем тока, обусловленного движением зарядов на обкладках в этой, связанной c плоскостью системе, Вы пренебрегаете?

Нет, это поле определяется величиной B в формулах.

yourdomain.com