вычисление интеграла по объемной фигуре

lavds · Сообщение **lavds** » 27 дек 2009, 21:03

Объясните как задавать области в определенном интеграле, для такого задания

Область - это тетрааэдр c координатами вершин A=(0;1;3) B=(2;1;3) C=(0;0;3) D=(0;1;0)

Нужно вычислить по этой области интеграл (-2x-y+3z)dxdydz

vvvv · Сообщение **vvvv** » 27 дек 2009, 21:22

lavds писал(а):Source of the post
Объясните как задавать области в определенном интеграле, для такого задания

Область - это тетрааэдр c координатами вершин A=(0;1;3) B=(2;1;3) C=(0;0;3) D=(0;1;0)

Нужно вычислить по этой области интеграл (-2x-y+3z)dxdydz

Изобразите точки в прямоугольной системе кординат.
Запишите уравнения плоскостей, в пределах которых будет изменяться (z). (уравнение плоскостей, проходящих через три точки).
Спроектируйте тетраэдер на пл. XOY и посмотрите чему будут равны пределы интегрирования по
x и y.
Запишите трехкратный интеграл и вчисляйте.

lavds · Сообщение **lavds** » 28 дек 2009, 15:55

vvvv писал(а):Source of the post
Изобразите точки в прямоугольной системе кординат.
Запишите уравнения плоскостей, в пределах которых будет изменяться (z). (уравнение плоскостей, проходящих через три точки).
Спроектируйте тетраэдер на пл. XOY и посмотрите чему будут равны пределы интегрирования по
x и y.
Запишите трехкратный интеграл и вчисляйте.

у меня получаются уравнения плоскотей:
ABD:6y-6=0
ACD:3x=0
BCD:3x-6y-2z+6=0
ABC:-2z+6=0
(гдето напутал? )

Спроектировал на ось XOY получился треугольник c координатами вершин (0,0) (0,1) (2,1)
пределы интегрирования по х и y:
$\{{0\leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq \frac {x} {2}}$

как дальше?

lavds · Сообщение **lavds** » 28 дек 2009, 16:21

lavds писал(а):Source of the post
vvvv писал(а):Source of the post
Изобразите точки в прямоугольной системе кординат.
Запишите уравнения плоскостей, в пределах которых будет изменяться (z). (уравнение плоскостей, проходящих через три точки).
Спроектируйте тетраэдер на пл. XOY и посмотрите чему будут равны пределы интегрирования по
x и y.
Запишите трехкратный интеграл и вчисляйте.

у меня получаются уравнения плоскотей:
ABD:6y-6=0
ACD:3x=0
BCD:3x-6y-2z+6=0
ABC:-2z+6=0
(гдето напутал? )

Спроектировал на ось XOY получился треугольник c координатами вершин (0,0) (0,1) (2,1)
пределы интегрирования по х и y:
$\{{0\leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq \frac {x} {2}}$

так?

как дальше?

я так понимаю z у меня изменяется от 0 до 3

тоесть пределы будут такие?

$\int_{0}^{3}dz \int_{0}^{2}dx \int_{0}^{\frac {x} {2}}dy$

СергейП

lavds писал(а):Source of the post Спроектировал на ось XOY получился треугольник c координатами вершин (0,0) (0,1) (2,1)
пределы интегрирования по х и y:
$\{{0\leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq \frac {x} {2}}$

как дальше?

Верно так
$\{{0\leq x \leq 2 \\ \frac x2 \leq y \leq 1$

lavds писал(а):Source of the post я так понимаю z у меня изменяется от 0 до 3

Нет, z изменяется от плоскости BCD до 3.
$$3x-6y-2z+6=0$$

, т.e. $z= \frac32 x-3y+3$ .

lavds писал(а):Source of the post тоесть пределы будут такие?

$\int_{0}^{3}dz \int_{0}^{2}dx \int_{0}^{\frac {x} {2}}dy$

$\int_{0}^{2}dx \int_{\frac x2 }^{1}dy \int_{ \frac32 x-3y+3 }^{3} f(x,y,z)dz$

lavds · Сообщение **lavds** » 28 дек 2009, 17:40

СергейП писал(а):Source of the post
lavds писал(а):Source of the post Спроектировал на ось XOY получился треугольник c координатами вершин (0,0) (0,1) (2,1)
пределы интегрирования по х и y:
$\{{0\leq x \leq 2 \\ 0 \leq y \leq \frac {x} {2}}$

как дальше?
Верно так
$\{{0\leq x \leq 2 \\ \frac x2 \leq y \leq 1$

почему? $\frac x2 \leq y \leq 1$

понял)

СергейП

lavds писал(а):Source of the post почему? $\frac x2 \leq y \leq 1$

Потому что

lavds писал(а):Source of the post Спроектировал на плоскость XOY получился треугольник c координатами вершин (0,0) (0,1) (2,1)

Нужно просто сделать чертеж.

vvvv · Сообщение **vvvv** » 28 дек 2009, 18:37

Вот картинка.

lavds · Сообщение **lavds** » 28 дек 2009, 19:27

a уравнение плоскости BCD я правильно составил?
a то если скажем x=0 и y=0 то мы получаем z=3 ....

СергейП

lavds писал(а):Source of the post a уравнение плоскости BCD я правильно составил?
a то если скажем x=0 и y=0 то мы получаем z=3 ....

Так a в чем проблема? Точка C(0;0;3).

yourdomain.com