Закон двойственности

altus · Сообщение **altus** » 01 дек 2009, 20:27

Здравствуйте уважаемые математики.

Разбираю док-во закона двойственности.

$(A \cap B )' = A' \cup B'$
Пусть
1). $x\in(A \cap B )'$ тогда $x \notin (A \cap B)$
следовательно

2). $x \notin A$ или $x \notin B$
т.e.
$x \in A'$ или $x \in B'$ , a это означает, что
$x \in A' \cup B'$
Таким образом доказано включение $(A \cap B )' \subset A' \cup B'$
и т.д.

? A почему я не могу предположить в пункте 2 $x \in A$ или $x \in B$
это тоже верно, и из это следует совсем обратное $x \in A \cup B$

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 01 дек 2009, 20:35

altus писал(а):Source of the post
Здравствуйте уважаемые математики.

Разбираю док-во закона двойственности.

$(A \cap B )' = A' \cup B'$
Пусть
1). $x\in(A \cap B )'$ тогда $x \notin (A \cap B)$
следовательно

2). $x \notin A$ или $x \notin B$
т.e.
$x \in A'$ или $x \in B'$ , a это означает, что
$x \in A' \cup B'$
Таким образом доказано включение $(A \cap B )' \subset A' \cup B'$
и т.д.

? A почему я не могу предположить в пункте 2 $x \in A$ или $x \in B$
это тоже верно, и из это следует совсем обратное $x \in A \cup B$

Следует, но это не обратное, т.e. исходному выражению не противоречит.

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 01 дек 2009, 20:38

altus писал(а):Source of the post
A почему я не могу предположить в пункте 2 $x \in A$ или $x \in B$
это тоже верно, и из это следует совсем обратное $x \in A \cup B$

Потому, что это не верно. Если $x \not \in A \cap B$ совсем не следует, что $x \in A$ или $x \in B$ .

Рассмотрим пример. Пусть $I = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ , $A = \{ 1, 2, 3 \}$ , $B = \{ 2, 3, 4 \}$ . Тогда $5 \not \in A \cap B$ , но $5 \not \in A$ и $5 \not \in B$ .

altus · Сообщение **altus** » 02 дек 2009, 15:47

AV_77 писал(а):Source of the post
altus писал(а):Source of the post
A почему я не могу предположить в пункте 2 $x \in A$ или $x \in B$
это тоже верно, и из это следует совсем обратное $x \in A \cup B$

Потому, что это не верно. Если $x \not \in A \cap B$ совсем не следует, что $x \in A$ или $x \in B$ .

Рассмотрим пример. Пусть $I = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ , $A = \{ 1, 2, 3 \}$ , $B = \{ 2, 3, 4 \}$ . Тогда $5 \not \in A \cap B$ , но $5 \not \in A$ и $5 \not \in B$ .

Спасибо!

yourdomain.com