Производящая функция чисел трибоначчи

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 14:15

Задана последовательность трибоначчи в которой t_n=t_n-1+t_n-2+t_n-3. Нужно вывести формулу для вычисления n-го члена последовательности через производящюю функцию.
$T(x)=\frac {(t_1+t_2-t_3)x^2+(t_1-t_2)x-t_1} {x^3+x^2+x-1}$ вот сама производящая функция. Если же задать начальный условия $$t_1=t_2=1, t_3=2$$

то будем иметь следуюцюю функцию $T(x)=\frac {-1} {x^3+x^2+x-1}$ . Дальше можно прочитать в статье Бронштейна, только там все делается для чисел Фибоначчи. Кто интересуется может помочь мне полностью вывести формулу n-го члена последовательности, буду очень благодарен. Ho не буду настолько наглым, прошу лишь помочь мне c разложением кубического тричлена $$ x^3+x^2+x-1 $$

на множители.

[img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] ______________________________.rar

Георгий

Факторизация возможна лишь через радикалы третьй и второй степени. Вот если бы единички не было бы

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 ноя 2009, 14:47

Через производящую функцию тут сложно, может просто решим уравнение $$f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)$$

?

Георгий

Тоже не фонтан. Решается через корни кубического уравнения. Наверно, я не ошибся:
Замучился в Латехе писать. Ошибок -тьма. Поэтому даю Рис.
He знаю только - можно ли убрать два последние (мнимые) слагаемые...

Проверил в Мапл - что-то не то... Возможно проверяю неверно. Нужно свежими глазами пройтись.

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 14:54

Георгий писал(а):Source of the post
Факторизация возможна лишь через радикалы третьй и второй степени. Вот если бы единички не было бы

A можно формулу по какой будем раскладывать если корень уравнения есть?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 ноя 2009, 15:13

shandow писал(а):Source of the post
прошу лишь помочь мне c разложением кубического тричлена на множители.

У Bac проблема: 2 корня тут комплексные, и представить $$t_n=C_1*x_1^n+C_2*x_2^n+C_3*x_3^n$$

уже не так полезно.

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 15:18

тоесть это и есть формула n-го члена числе трибоначчи?

Ian · Сообщение **Ian** » 10 ноя 2009, 15:29

Ian писал(а):Source of the post
У Bac проблема: 2 корня тут комплексные, и представить уже не так полезно.

shandow писал(а):Source of the post
тоесть это и есть формула n-го члена числе трибоначчи?

Эта-не совсем, $$x_1, x_2,x_3$$

-обратные величины корней. И вообще начните по порядку: рекуррентное соотношение (см Inspektor), начальные условия, поясняйте вводимые обозначения. Ваша же тема.

shandow · Сообщение **shandow** » 10 ноя 2009, 15:40

Ian писал(а):Source of the post
shandow писал(а):Source of the post
тоесть это и есть формула n-го члена числе трибоначчи?
Эта-не совсем, -обратные величины корней. И вообще начните по порядку: рекуррентное соотношение (см Inspektor), начальные условия, поясняйте вводимые обозначения. Ваша же тема.

Отредактировал первый пост, c нетерпением жду ответа=)

Ian · Сообщение **Ian** » 10 ноя 2009, 16:05

Да,прочитал Бронштейна. Мы сможем получить формулу для n-го члена рекуррентного соотношения
$t_{n+1}=t_n+t_{n-1}+t_{n-2}$ чуть более длинного,чем у него,вида $$t_n=C*x_1^n+(A+Bi)(a+bi)^n+(A-Bi)(a-bi)^n$$

где

- корни характеристического уравнения $$x^3-x^2-x-1=0$$

-зто обратные величины корней того уравнения,o котором Вы спрашивали вначале. Предлагаю без производящей функции,в лоб,подставить их в данное соотношение и начальные условия.

yourdomain.com