Функциональное уравнение

Harakternik · Сообщение **Harakternik** » 06 сен 2009, 08:47

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция $f(x) \in R([0, 1])$ (интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3}), x \in [0, 1],$
причём $f(\frac{1}{2}) = 1$ . Требуется определить f.

Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
$f(0) = f(1) = \frac{1}{2} (f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})),$
a x=1/2 - что
$f(\frac{1}{6}) + f(\frac{5}{6}) = 2.$
Дальше неясно.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 06 сен 2009, 17:26

$f \equiv 1$ вроде бы подходит

a_l_e_x86 · Сообщение **a_l_e_x86** » 06 сен 2009, 18:22

Можно попробовать еще проинтегрировать обе части уравнения.
Например, проинтегрировав от 0 до 0.5 и сделав замену переменных, можно показать что

$\int_{\frac{2}{3}}^{\frac{5}{6}}f(x)dx=\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}}f(x)dx$

Ian · Сообщение **Ian** » 07 сен 2009, 03:33

Harakternik писал(а):Source of the post
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция $f(x) \in R([0, 1])$ (интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3}), x \in [0, 1],$
причём $f(\frac{1}{2}) = 1$ . Требуется определить f.

Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
$f(0) = f(1) = \frac{1}{2} (f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})),$
a x=1/2 - что
$f(\frac{1}{6}) + f(\frac{5}{6}) = 2.$
Дальше неясно.

$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3})=\frac{1}{9} (f(\frac{x}{9}) + f(\frac{x+3}{9}) + f(\frac{x+6}{9}))+$
$\frac{1}{9} (f(\frac{x+1}{9}) + f(\frac{x+4}{9}) + f(\frac{x+7}{9})+\frac{1}{9} (f(\frac{x+2}{9}) + f(\frac{x+5}{9}) + f(\frac{x+8}{9})$ в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем $f(x)=\int_0^1{f(x)dx}=const=f(\frac{1}{2})=1$

Harakternik · Сообщение **Harakternik** » 07 сен 2009, 08:03

Ian писал(а):Source of the post
Harakternik писал(а):Source of the post
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция $f(x) \in R([0, 1])$ (интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3}), x \in [0, 1],$
причём $f(\frac{1}{2}) = 1$ . Требуется определить f.

Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
$f(0) = f(1) = \frac{1}{2} (f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})),$
a x=1/2 - что
$f(\frac{1}{6}) + f(\frac{5}{6}) = 2.$
Дальше неясно.

$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3})=\frac{1}{9} (f(\frac{x}{9}) + f(\frac{x+3}{9}) + f(\frac{x+6}{9}))+$
$\frac{1}{9} (f(\frac{x+1}{9}) + f(\frac{x+4}{9}) + f(\frac{x+7}{9})+\frac{1}{9} (f(\frac{x+2}{9}) + f(\frac{x+5}{9}) + f(\frac{x+8}{9})$ в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем $f(x)=\int_0^1{f(x)dx}=const=f(\frac{1}{2})=1$

При этом ведь нужно индукцией показать, что на каждом шаге получается интегральная сумма для разбиения отрезка на $$3^n$$

равных частей, иначе предельный переход не будет законным.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 сен 2009, 08:25

Harakternik писал(а):Source of the post
При этом ведь нужно индукцией показать, что на каждом шаге получается интегральная сумма для разбиения отрезка на равных частей, иначе предельный переход не будет законным.

Да.Посмотрим как из множества аргументов левой части функ.уравнения получается множество аргументов правой части. Отрезок (0,1) вместе c множеством сжимается втрое и результат укладывается по (0,1) три раза. Операция перехода к в 3 раза более частому разбиению -эта же процедура.Значит на следующем шаге из интегральной суммы получается интегральная сумма.

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 08 сен 2009, 08:08

Ian писал(а):Source of the post
Harakternik писал(а):Source of the post
Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Функция $f(x) \in R([0, 1])$ (интегрируема по Риману на [0, 1]) удовлетворяет соотношению
$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3}), x \in [0, 1],$
причём $f(\frac{1}{2}) = 1$ . Требуется определить f.

Подстановкой x = 0 и x = 1 можно определить, что
$f(0) = f(1) = \frac{1}{2} (f(\frac{1}{3}) + f(\frac{2}{3})),$
a x=1/2 - что
$f(\frac{1}{6}) + f(\frac{5}{6}) = 2.$
Дальше неясно.

$f(x) = \frac{1}{3} (f(\frac{x}{3}) + f(\frac{x+1}{3}) + f(\frac{x+2}{3})=\frac{1}{9} (f(\frac{x}{9}) + f(\frac{x+3}{9}) + f(\frac{x+6}{9}))+$
$\frac{1}{9} (f(\frac{x+1}{9}) + f(\frac{x+4}{9}) + f(\frac{x+7}{9})+\frac{1}{9} (f(\frac{x+2}{9}) + f(\frac{x+5}{9}) + f(\frac{x+8}{9})$ в чем узнается интегральная сумма для разбиения отрезка на 9 равных. Продолжая разбивать на 27,81 итд, в пределе получаем $f(x)=\int_0^1{f(x)dx}=const=f(\frac{1}{2})=1$

Помоему, таким образом можно любую функцию приравнять к 1. A если попробовать преобразования Лапласа для сдвига функции по оси Х и масштабирования.

Ian · Сообщение **Ian** » 08 сен 2009, 08:34

alexy.74 писал(а):Source of the post

Помоему, таким образом можно любую функцию приравнять к 1.

Зря Вы мне не верите. Интегральная сумма обязательно требует чтобы длина каждого интервала умножалась на значение функции где-то HA HEM и здесь по случайности стало доказуемо,что значения аргументов на n-м шаге ПО ОДНОМУ распределились на $$3^n$$

интервалов. Способ обобщается на функциональные уравнения вида $$f(x)=pf(px)+qf(p+qx)+rf(p+q+rx)$$

p+q+r=1, но не более того

alexy.74 · Сообщение **alexy.74** » 08 сен 2009, 09:04

Ian писал(а):Source of the post
alexy.74 писал(а):Source of the post

Помоему, таким образом можно любую функцию приравнять к 1.

Зря Вы мне не верите. Интегральная сумма обязательно требует чтобы длина каждого интервала умножалась на значение функции где-то HA HEM и здесь по случайности стало доказуемо,что значения аргументов на n-м шаге ПО ОДНОМУ распределились на интервалов. Способ обобщается на функциональные уравнения вида p+q+r=1, но не более того

Скажите ,где это можно найти в книгах?

Ian · Сообщение **Ian** » 08 сен 2009, 10:12

alexy.74 писал(а):Source of the post
Скажите ,где это можно найти в книгах?

Для меня самого загадка, есть ли книги широко рассматривающие функциональные уравнения.A про интегральные суммы,как и остальной матан, уважаю двухтомник Зорича (недавно скачал в Дежавю издание 2e но не могу найти ссылку. Нужна-еще поищу)

yourdomain.com