Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Marik · Сообщение **Marik** » 31 июл 2009, 14:02

Немного запуталась, не могли бы вы подсказать как правильно решать?
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:

$x=\frac {1} {2}(t-sint)$

$y=\frac {1} {2}(1-cost)$

$y(>;=)\frac {1} {4}$
Я думала что надо выразить синус и косинус, возвести их в квадрат и сложить, тогда получится такое выражение:
$$1=(t-2x)^2+(1-2y)^2$$

если скобки не раскрывать то это похоже на эллипс.
Что мне тут нужно сделать?

tig81 · Сообщение **tig81** » 31 июл 2009, 14:04

пример

Marik · Сообщение **Marik** » 31 июл 2009, 14:57

Исходя из данных примера получается

$4=\frac {1} {2}(1-cost)$

$$cost=-1$$

Тогда площадь будет:

$S=\int_{0}^{n}{\frac {1} {2}(1-cost)\frac {1} {2}(t-sint)}dt=\frac {1} {4}\int_{0}^{n}{(1-cost)d(t^2/2-cost)}$
C интегралом запуталась я хоть правильно вычисляю?

Георгий

Вам нужно вычислить площадь S, предварительно найдя пересечения горизонтали y=1/4 c эллипсом, вычислив интеграл в пределах найденных иксов и вычитая площадь желтой области.

Sara90 · Сообщение **Sara90** » 31 июл 2009, 16:21

Marik, у Bac уравнение циклоиды в параметрической форме. Эта задача подробно рассмотрена здесь
Каплан И.A., Практические занятия по высшей математике (1967)(3-e) на 790 стр.

Только по ссылке не кликайте, a наведите курсор и нажмите правую кнопку и сохраните объект как (может придется нажать два раза на Сохранить объект как).

Георгий писал(а):Source of the post
Вам нужно вычислить площадь S, предварительно найдя пересечения горизонтали y=1/4 c эллипсом, вычислив интеграл в пределах найденных иксов и вычитая площадь желтой области.

Вы o чем?

Ничего вычитать не надо; обычная задача на нахождение площади циклоиды.

Георгий

Есть совсем простой способ. Выражаете x через y (на Рис. я это сделал), берете интеграл по y в пределах от 1/4 до 1 - это будет желтая область. Далее легко оперируете прямоугольником и находите половину внутренней части эллипса. Удвойте эту половину и получите ответ.

У меня желтая область получилась равной

$\int _{1/4}^{1}\!1/2\,\pi -1/2\,\arccos \left( -1+2\,y \right) -\sqrt {y-{y}^{2}}{dy}={\frac {5}{24}}\,\pi -{\frac {5}{32}}\,\sqrt {3}$

Далее - проще пареной репы.

Marik · Сообщение **Marik** » 31 июл 2009, 16:48

Sara90, спасибо за литературу, мне действительно надо разобраться, чтоб на экзамене не ударить в грязь лицом))

Sara90 · Сообщение **Sara90** » 31 июл 2009, 16:49

Георгий, где Вы видите элипс??

У Marik в задании параметрическая форма циклоиды. Циклоида и элипс - это разные фигуры.

Круг, производящий циклоиду, делает полный оборот, поэтому надо взять пределы от 0 до 2pi, чтобы вычислить площадь одной "арки" циклоиды.

to Marik, скачать удалось?

Marik · Сообщение **Marik** » 31 июл 2009, 16:54

Георгий писал(а):Source of the post
Есть совсем простой способ. Выражаете x через y (на Рис. я это сделал), берете интеграл по y в пределах от 1/4 до 1 - это будет желтая область. Далее легко оперируете прямоугольником и находите половину внутренней части эллипса. Удвойте эту половину и получите ответ.

Спасибо, вам Георгий за график и за вариант решения))) его тоже подробно рассмотрю

Sara90, еще скачивается, скорость маленькая)

Георгий

я эллипс не вижу - он получается автоматически из уравнений.

yourdomain.com