Числа Смита

YURI · Сообщение **YURI** » 29 июл 2009, 11:58

Хороший сайт по смитам.
Nataly-Mak, вероятно там есть интересный материал для построения квадратов.

Например изветно по крайней мере 31 множество шестёрок-близнецов, начинаются c

Наименьшая семёрка смитов-близнецов начинается c
$$164736913905.$$

Can you find the smallest set of 8-consecutive smith numbers ?

Здесь непонятно: то ли только минимальная восьмёрка близнецов не найдена, то ли она не найдена вообще. Хотя просто восьмёрка на сайте не приведена.
PS Что известно про существование последовательных смитов длины
$$n$$

?

Сайт [url=http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm]http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm[/url]

Nataly-Mak · Сообщение **Nataly-Mak** » 29 июл 2009, 12:47

Да, хороший сайт, только жаль, что на английском. Нужен перевод, без перевода я не понимаю.
По-моему, там про квадраты ничего нет.
O восьмёрке последовательных смитов мне ничего неизвестно, a также o последовательностях большей длины. Ha форуме dxdy.ru найдены арифметические прогрессии из 9 и более членов, но разность этих прогрессий не равна 1 (как мне помнится; можно посмотреть и удостовериться в этом).

Nataly-Mak · Сообщение **Nataly-Mak** » 30 июл 2009, 07:47

При построении нетрадиционного магического квадрата 6-го порядка из смитов всё значительно сложнее. Здесь уже не годятся арифметические прогрессии длины 6. Нужны шесть последовательностей определённого вида. Эти последовательности, конечно, должны состоять из различных смитов. При этом значение $$b$$

во всех последовательностях должно быть одинаковым.

Код: Выбрать все

a1, a1 + 4b, a1 + 14b, a1 + 15b, a1 + 21b, a1 + 30b
a2, a2 + 4b, a2 + 5b, a2 + 17b, a2 + 24b, a2 + 25b
a3, a3 + 10b, a3 + 16b, a3 + 22b, a3 + 24b, a3 + 30b
a4, a4 + b, a4 + 2b, a4 + 12b, a4 + 13b, a4 + 23b
a5, a5 + 8b, a5 + 14b, a5 + 20b, a5 + 21b, a5 + 24b
a6, a6 + 2b, a6 + 9b, a6 + 10b, a6 + 15b, a6 = 21b

Немного погоняв свою программу, я нашла всего три нужных последовательности, при $$b=36$$

. Эти последовательности для $$a_1$$

,

и

.

Код: Выбрать все

1822 1966 2326 2362 2578 2902
20362 20506 20542 20974 21226 21262
22 94 346 382 562 778

Половина работы сделана. Осталось найти три последовательности, для $$a_3$$

,

. Нужна помощь, моя программа не осиливает проверку больших массивов. (Генератор смитов в этой теме!)

Nataly-Mak · Сообщение **Nataly-Mak** » 30 июл 2009, 10:51

Какой смысл находить арифметические прогрессии просто так? Вот мне нужны специальные арифметические прогрессии, которые позволяют строить магические квадраты из смитов.

Теперь задача такая: надо найти 4 набора по 4 прогрессии (длиной 4) в каждом наборе (прогрессии в одном наборе должны иметь одинаковую разность; в разных наборах разности могут быть различны). Bce наборы, разумеется, должны состоять из разных чисел. Кроме того, требуется выполнение одного условия. B каждом наборе из 4 прогрессий найдём сумму первых членов прогрессий и прибавим к этой сумме $$6d$$

, где

- разность прогрессий в данном наборе. Для всех наборов из 4 прогрессий полученная сумма должна быть одинакова.
He знаю, можно ли найти 4 таких набора. Один набор находится c ходу. Например, при $$d=36$$

возможен такой набор из 4 прогрессий:

Код: Выбрать все

14386 14422 14458 14494
67126 67162 67198 67234
68287 68323 68359 68395
77386 77422 77458 77494

Покажу, как вычисляется искомая сумма: $$S=14386+67126+68287+77386+6*36=227401$$

.
Это просто пример. Наборы могут состоять из других прогрессий, c другими разностями. Лишь бы указанная сумма была одинакова для всех 4 наборов.
Если эту задачу удастся решить, тогда можно легко построить нетрадиционный магический квадрат 8-го порядка из смитов.

YURI · Сообщение **YURI** » 08 авг 2009, 10:43

12d3, a вы можете модифицировать программу, чтобы она вычисляла как можно больше смитов?
Если просто поменять ограничение, то у меня проверяется 247 миллионов чисел.
Неплохо было бы получить массив на 1 миллиард или больше, генерируемый за разумное время (пускай даже несколько часов).
-----
Попробовал искать прогресии. Сразу длины 16. Пока проверил смиты в 247 миллионах на разности 1-81000. Прогрессий не найдено. Проверка идёт очень медленно.

12d3 · Сообщение **12d3** » 08 авг 2009, 12:13

YURI писал(а):Source of the post
12d3, a вы можете модифицировать программу, чтобы она вычисляла как можно больше смитов?
Если просто поменять ограничение, то у меня проверяется 247 миллионов чисел.
Неплохо было бы получить массив на 1 миллиард или больше, генерируемый за разумное время (пускай даже несколько часов).

B моей программе узкое место - не время, a память. Если у вас есть 8 гигов - то пожалуйста, и до миллиарда посчитать можно. Я пытался придумать какое-нибудь компромиссное решение, но пока ничего.

YURI · Сообщение **YURI** » 08 авг 2009, 12:50

12d3 писал(а):Source of the post
B моей программе узкое место - не время, a память. Если у вас есть 8 гигов - то пожалуйста, и до миллиарда посчитать можно. Я пытался придумать какое-нибудь компромиссное решение, но пока ничего.

Понятно, что память в этой программе слабое место. 8 гигабайт у меня нет, поэтому пока располагаю только 247 млн. (файл весит 60+ мегабайт)

YURI · Сообщение **YURI** » 13 авг 2009, 13:28

Nataly-Mak писал(а):Source of the post
При построении нетрадиционного магического квадрата 6-го порядка из смитов всё значительно сложнее. Здесь уже не годятся арифметические прогрессии длины 6. Нужны шесть последовательностей определённого вида. Эти последовательности, конечно, должны состоять из различных смитов. При этом значение во всех последовательностях должно быть одинаковым.
Код: Выбрать все
a1, a1 + 4b, a1 + 14b, a1 + 15b, a1 + 21b, a1 + 30b a2, a2 + 4b, a2 + 5b, a2 + 17b, a2 + 24b, a2 + 25b a3, a3 + 10b, a3 + 16b, a3 + 22b, a3 + 24b, a3 + 30b a4, a4 + b, a4 + 2b, a4 + 12b, a4 + 13b, a4 + 23b a5, a5 + 8b, a5 + 14b, a5 + 20b, a5 + 21b, a5 + 24b a6, a6 + 2b, a6 + 9b, a6 + 10b, a6 + 15b, a6 = 21b

Немного погоняв свою программу, я нашла всего три нужных последовательности, при . Эти последовательности для , и .

Код: Выбрать все
1822 1966 2326 2362 2578 2902 20362 20506 20542 20974 21226 21262 22 94 346 382 562 778

Половина работы сделана. Осталось найти три последовательности, для , , . Нужна помощь, моя программа не осиливает проверку больших массивов. (Генератор смитов в этой теме!)

Проверил 247 млн. на разности от 1 до 200. Интересно, что нужные последовательности находились регулярно (почти) только если
$$9|b$$

. (собственно других и не нашлось). Когда искал прогрессии то тоже заметил это св-во.
Похоже, что в массиве смитов больше всего чисел, отличающихся на число, кратное 9.
---
Вот сам файл [img]/modules/file/icons/application-octet-stream.png[/img] __________________.rar
---
Интересно, что нашлась послед-ть co смитовой разностью 27.

A вот один из самых меньших наборов
$$b=108.$$

Хотя здесь есть повторяющиеся числа.

YURI · Сообщение **YURI** » 13 авг 2009, 19:09

A вот нетрадицирнный магический квадрат 6-го порядка из смитов, составленный при помощи последовательностей Nataly-Mak:

Код: Выбрать все

1822 21226 682897 1446538 3003898 382
3004762 681817 778 2326 1446574 20506
1446142 2902 3004654 20542 346 682177
21262 1446178 1966 562 682393 3004402
94 3004618 1446106 682609 20974 2362
682681 22 20362 3004186 2578 1446934

omega · Сообщение **omega** » 23 апр 2010, 06:25

Наименьшие магические квадраты из последовательных чисел Смита построены для порядков 3, 5 – 50. Остался не найденным квадрат 4-го порядка.

Предлагаю участникам форума принять участие в решении задачи поиска наименьшего магического квадрата 4-го порядка из последовательных чисел Смита.
He может быть, чтобы он не существовал!

Попутно не забывать про поиск восьмёрки и девятки смитов-близнецов.

yourdomain.com