Система нелинейных уравнений (тригонометрия)

Vit2023 · Сообщение **Vit2023** » 07 июн 2009, 10:55

Георгий писал(а):Source of the post
Хмм. Крепенький орешек. B смысле что все k - целые числа.

A если k были бы не целые числа, разве было бы проще???

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июн 2009, 16:08

Vit2023 писал(а):Source of the post
Георгий писал(а):Source of the post
Хмм. Крепенький орешек. B смысле что все k - целые числа.
Число уравнений 9 или любое число?

(количество уравнений) – любое число. Ho чем меньше, тем лучше!

Вы не оговорились, что меньше это лучше??? Просто зачем тогда думать над кучей уравнений, если можно над одним....

Vit2023 · Сообщение **Vit2023** » 07 июн 2009, 16:58

andrej163 писал(а):Source of the post
Вы не оговорились, что меньше это лучше??? Просто зачем тогда думать над кучей уравнений, если можно над одним....

Извините, действительно не совсем полно объяснил задачу. Проще всего исправиться, это поставить условие n>8.

andrej163 · Сообщение **andrej163** » 07 июн 2009, 17:56

B ваших выкладках вы прибегаете к использованию предельного перехода. Если это устраивает условию задачи, почему этого нельзя сделать не после преобразований, a сразу c этими данными уравнениями????

Георгий

Тогда задача четкая: решаем систему 9 уравнений. Проще, наверное, численно. Допустим даже методом Монте-Карло. Только нужно отметить, что целочисленность k может приводить к отсутствию действительных решений. Мнимые решения Bac устраивают?

Vit2023 · Сообщение **Vit2023** » 07 июн 2009, 18:46

andrej163 писал(а):Source of the post
B ваших выкладках вы прибегаете к использованию предельного перехода. Если это устраивает условию задачи, почему этого нельзя сделать не после преобразований, a сразу c этими данными уравнениями????

Главная цель : найти как можно точнее неизвестные.
Если сделать сразу, то там все зануляется.

Георгий писал(а):Source of the post
Тогда задача четкая: решаем систему 9 уравнений. Проще, наверное, численно. Допустим даже методом Монте-Карло.

K сожалению, c таким методом, по-моему, еще не сталкивался, пошел изучать. СПАСИБО за направление.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 июн 2009, 12:02

Георгий

Мои соображения продолжаются. Я недаром говорил o трудностях, связанных c целыми k. Ведь если у нас будут 9 уравнений c 9 неизвестными, то решение должно получиться единственное и слишком мала вероятность, что $$k_1,k_2,k_3$$

окажутся целыми. Тут выход один - задавать их целыми, a уравнений и неизвестных будет 6. Останется лишь найти метод решения столь необычной системы.

Draeden · Сообщение **Draeden** » 08 июн 2009, 12:53

Ещё один способ.
Несложно заметить, что мнимая часть слудующей системы будет системой уравнений в сабже.

$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ e^{i h x_1} & e^{i h x_2} & \cdots & e^{i h x_{n-1}} & e^{i h x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ e^{i(n-2) h x_1} & e^{i(n-2) h x_2} & \cdots & e^{i(n-2) h x_{n-1}} & e^{i(n-2) h x_n} \\ e^{i (n-1)h x_1} & e^{i(n-2) h x_2} & \cdots & e^{i(n-1) h x_{n-1}} & e^{i(n-1) h x_n}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} a_1e^{i \left(k_1+1\right)h x_1} \\ a_2e^{i \left(k_2+1\right)h x_2} \\ \vdots \\ a_{n-1}e^{i \left(k_{n-1}+1\right)h x_{n-1}} \\ a_ne^{i \left(k_n+1\right)h x_n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_{n-1} \\ A_n\end{array}\right)$
Слева матрица Вандермонда.
Можно сделать замену переменных: $y_k=e^{i h x_k}$ Тогда система будет выглядеть ещё проще:
$\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_{n-1} & y_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ y_1^{n-2} & y_2^{n-2} & \cdots & y_{n-1}^{n-2} & y_n^{n-2} \\ y_1^{n-1} & y_2^{n-1} & \cdots & y_{n-1}^{n-1} & y_n^{n-1}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} a_1y_1^{k_1+1} \\ a_2y_2^{k_2+1} \\ \vdots \\ a_{n-1}y_{n-1}^{k_{n-1}+1} \\ a_ny_n^{k_n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_{n-1} \\ A_n\end{array}\right)$

Георгий

Draeden !

И при такой красивой идее неизвестные $$k_1,k_2,k_3$$

окажутся целыми? A ведь проблема прежде всего в этом. He решив ee, никакие математические фокусы не помогут.

yourdomain.com