Задачка по линейной алгебре

Aelita · Сообщение **Aelita** » 22 май 2009, 19:49

Здравствуйте!Проверьте,пожалуйста,решение задачи.Какое-то странное у меня ощущение,что что-то здесь не так.

Задача:
Запишите матрицу поворота,переводящую вектор (3,1)в вектор (3,-1).Куда она переводит вектор (4,3)?

Решение:
Матрица поворота(её я любовно выводила через полярные координаты,вместо того,чтобы посмотреть в учебнике:)):
$\begin{pmatrix} cos\alpha& -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}$
Далее составила я систему ур-ий по вектору,координаты которого известны до и после поворота:

$3=3\cos\alpha - sin\alpha-1=3sin\alpha + cos\alpha$

в результате решения вышло следующее:
$sin\alpha=-3/5\alpha=arcsin(-3/5)$

Ну a потом я рассматривала вектор (4,3),про который и нужно сказать,куда он переводится:
$x=4cos\alpha - 3sin\alpha=3.19 + 1.81=5$
$y=4sin\alpha + 3cos\alpha=-2.4 + 2.4=0$

To есть получается,что вектор (4,3) переводится в вектор (5,0).
Так или не так?

vvvv · Сообщение **vvvv** » 23 май 2009, 08:36

Aelita писал(а):Source of the post
Здравствуйте!Проверьте,пожалуйста,решение задачи.Какое-то странное у меня ощущение,что что-то здесь не так.

Задача:
Запишите матрицу поворота,переводящую вектор (3,1)в вектор (3,-1).Куда она переводит вектор (4,3)?

Решение:
Матрица поворота(её я любовно выводила через полярные координаты,вместо того,чтобы посмотреть в учебнике:)):
$\begin{pmatrix} cos\alpha& -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{pmatrix}$
Далее составила я систему ур-ий по вектору,координаты которого известны до и после поворота:

$3=3\cos\alpha - sin\alpha-1=3sin\alpha + cos\alpha$

в результате решения вышло следующее:
$sin\alpha=-3/5\alpha=arcsin(-3/5)$

Ну a потом я рассматривала вектор (4,3),про который и нужно сказать,куда он переводится:
$x=4cos\alpha - 3sin\alpha=3.19 + 1.81=5$
$y=4sin\alpha + 3cos\alpha=-2.4 + 2.4=0$

To есть получается,что вектор (4,3) переводится в вектор (5,0).
Так или не так?

Здесь сделано по-другому.
У Bac - все верно

Aelita · Сообщение **Aelita** » 23 май 2009, 09:54

Спасибо)

Aelita · Сообщение **Aelita** » 23 май 2009, 14:47

Опять возник вопрос..
Задание вот такое:
Пусть $$V$$

-пространство матриц $$2*3$$

.Оператор F задан соотношением
$$F(A)$$

= $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & O \end{pmatrix}A + A \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\0 & 1 & 1 \\\end{pmatrix}$
Проверьте,что оператор F линеен,выберете базис пр-ва V,определите его размерность,запишите матрицу оператора $$F$$

в этом базисе.

Проблемы возникли лишь c последним пунктом,в принципе.
Базис-это матрицы $$2*3$$

вида $M1=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ,
$M2=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
ну и так далее,всего их 6.
Потом я значит подставила все эти базисы в оператор F.
Получилось следующее
$F(M1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$F(M2)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
И так далее)
Проблема в следующем-как из этого составить матрицу оператора F в этом базисе?

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0\\... & ... & ... & ... & ...& ...\end{pmatrix}$
Сделала сначала так,a потом задумалась.Это,может,надо составлять как блочную матрицу?Помогите разобраться,пожалуйста.Совсем беда(

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 23 май 2009, 15:15

Aelita писал(а):Source of the post
$F(M1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

значит

, a значит первый столбец матрицы линейного оператора в этом базисе - это (1,1,0,-1,0,0), и так далее

Aelita · Сообщение **Aelita** » 24 май 2009, 09:16

Спасибо.Буду учить матчасть)

yourdomain.com