Уравнение в конечных разностях

ZhenyaKa · Сообщение **ZhenyaKa** » 06 апр 2009, 12:13

Решить уравнение при начальных нулевых условиях.

$3\Delta ^{2}y(k)+\Delta y(k)+2y(k)=k(-1)^{k}$

что у меня получилось:
1) избавился от дельты слева, используя:

$\Delta f[n]=f[n+1]-f[n]$
$\Delta ^{2}f[n]=f[n+2]-2f[n+1]+f[n]$

получилось:

$3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=k(-1)^{k}$

2) Правую часть тоже преобразуем к разностям:

$k(-1)^{k}=y[n+2]+2y[n+1]+y[n]$

полчилось:
$$3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=y[n+2]+2y[n+1]+y[n]$$

a дальше стопор

решение равно сумме решений однородного уравнения
$$3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=0$$

и неоднородного
$$3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=y[n+2]+2y[n+1]+y[n]$$

как получить y[0] и y[1], необходимые для расчета коэффициентов C1 и C2...
я в тупике...

ЗЫ: решить надо двумя способами обычным и c помощью z-преобразования (но для него тоже надо y[0] и y[1])

V.V. · Сообщение **V.V.** » 06 апр 2009, 15:29

Найдите общее решение однородного рекуррентного соотношения
3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=0,
a потом ищите частное решение в виде y[n]=(a*n+B)(-1)^n.

Вместо y[0] и y[1] можно положить какие-нибудь произвольные постоянные. Например, y[0]=C и y[1]=D.

ZhenyaKa · Сообщение **ZhenyaKa** » 06 апр 2009, 18:13

V.V. писал(а):Source of the post
Найдите общее решение однородного рекуррентного соотношения
3y[n+2]-7y[n+1]+6y[n]=0,
a потом ищите частное решение в виде y[n]=(a*n+B)(-1)^n.

Вместо y[0] и y[1] можно положить какие-нибудь произвольные постоянные. Например, y[0]=C и y[1]=D.

вот условие задачи
1.3. Дано уравнение в прямых разностях. Необходимо:
a) перейти от уравнения, использующего прямые разности, к уравнению c применением оператора сдвига;
б) решить это уравнение при нулевых начальных условиях;
в) записать импульсную передаточную функцию;
г) решить разностное уравнение c применением z-преобразования.

что значит при нулевых начальных условиях?
если y[0]=0 и y[1]=0 то решение получается тоже равно нулю

V.V. · Сообщение **V.V.** » 06 апр 2009, 19:02

Нет. Если правая часть не равна нулю, то почему решение должно быть тривиально?

ZhenyaKa · Сообщение **ZhenyaKa** » 06 апр 2009, 21:39

V.V. писал(а):Source of the post
Нет. Если правая часть не равна нулю, то почему решение должно быть тривиально?

переношу правую часть влево. получается:

$$2y[n+2]-9y[n+1]+5y[n]=0$$

характеристическое уравнение:
$$2z^2-9z+5=0$$

корни:

решение тогда выходит:

$$y[n]=C_1(3.851)^n+C_2(0.649)^n$$

и если нулевые условия, то $$y[n]=0, y[n+1]=0$$

a это тока при $$C_1=0, C_2=0$$

или я неверно задачу понимаю (она из курса ТАУ, кстати)

я просто не понимаю, что значит
"б) решить это уравнение при нулевых начальных условиях;"

yourdomain.com