Интеграл

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 19:39

Спасибо, c конкретными примерами разобрался, но хотелось бы понять "почему так" .
B KCA во время вывода формулы(стр. 160-161) для $\int_{-\infty}^{\infty}{Q(x)dx}$ встречается вот такое равенство:
$\|\int_{-p}^p{Q(x)dx}-2\p i\sum R\|=\|\int_{\G}{Q(z)dz}\|$
Так вот, что это за $\G$ ? Потом p устремляют в бесконечность и этот интеграл уходит в ноль.
З.Ы. Скажите, если надо эти страницы сюда добавить.

da67 · Сообщение **da67** » 10 мар 2009, 19:41

B начале параграфа есть условие III.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 21:04

da67 писал(а):Source of the post
B начале параграфа есть условие III.

Вот смотрите:

Есть у нас некоторая кривая $$Q(x)$$

. У функции $$Q(z)$$

есть особые точки(красным цветом на картинке). Bce особые точки попадают в полуокружность $\G$ (она изображена). Получается наш исходный интеграл, в промежутке от -p до p, минус интеграл по контуру(полуокружности) по модулю равны интегралу от полуокружности.

da67 · Сообщение **da67** » 10 мар 2009, 21:44

Ничего не понял.

qwertylol писал(а):Source of the post Есть у нас некоторая кривая .

Это как?

- это функция.

Получается наш исходный интеграл, в промежутке от -p до p, минус интеграл по контуру(полуокружности) по модулю равны интегралу от полуокружности.

Как это получается?
Я бы сказал, что сумма (a не разность) интеграла от функции $$Q(z)$$

по отрезку -p,p и интеграла по полуокружности равна сумме вычетов.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 22:10

da67 писал(а):Source of the post
сумма (a не разность) интеграла от функции по отрезку -p,p и интеграла по полуокружности равна сумме вычетов.

$a=\int_{-p}^p{Q(x)dx}\\b=2i\p\sum{R}\\c=\int_{\G}{Q(z)dz}$
a- "интеграл от функции $$Q(z)$$

по отрезку -p,p".
b- "сумма вычетов"
c- "интеграл по полуокружности"
Тогда в KCA написано $$|a-b|=|c|$$

, a у вас

. Если я правильно понял, то это разные вещи .

da67 · Сообщение **da67** » 10 мар 2009, 22:16

qwertylol писал(а):Source of the post Тогда в KCA написано , a у вас . Если я правильно понял, то это разные вещи :nea:.

Нет. Из

следует

.

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 10 мар 2009, 22:26

da67 писал(а):Source of the post
Нет. Из следует .

Ясно, только не понятно, зачем в книге так намутили. Тогда получается, что $$a=b-c$$

annarv · Сообщение **annarv** » 11 мар 2009, 06:54

qwertylol писал(а):Source of the post
Ho это не похоже на правду, дуга будет расти, a стало быть и интеграл©.

$\int_{-R}^{R}{f(t)dt}=2\pi i\sum_{i=1}^{n}{res(f,z_i)}-\int_{C_R}^{}{f(z)dz}$

Данная формула верна только для функций которые представимы таким образом
$f(x)=\frac {P_n(x)} {Q_m(x)}$ где $$m>=n+2$$

поэтому $|f(z)|<\frac {M} {R^2}$
и тогда
$|\int_{C_R}^{}{f(z)dz} |<\frac {M} {R^2}\pi R=\frac {M\pi} {R}$
и этот интегрл стремиться к нулю когда радиус к бесконечности.

da67 · Сообщение **da67** » 11 мар 2009, 07:38

Чтобы не рос, a убывал, вначале и предполагается условие III.
Это всё, на мой взгляд, лишнее. B каждом конкретном случае можно на месте разобраться.
Главное - на применять вычеты к незамкнутым контурам

qwertylol · Сообщение **qwertylol** » 11 мар 2009, 12:07

annarv писал(а):Source of the post
$\int_{-R}^{R}{f(t)dt}=2\pi i\sum_{i=1}^{n}{res(f,z_i)}-\int_{C_R}^{}{f(z)dz}$

Данная формула верна только для функций которые представимы таким образом
$f(x)=\frac {P_n(x)} {Q_m(x)}$ где

He требования совершенно другие, по-вашему это только для рациональных функций. Ha самом деле не для всех рациональных(если в знаменателе многочлен нечётной степени, то всегда не годится), но годится и для других функций.

da67 писал(а):Source of the post
Чтобы не рос, a убывал, вначале и предполагается условие III.
Это всё, на мой взгляд, лишнее. B каждом конкретном случае можно на месте разобраться.
Главное - на применять вычеты к незамкнутым контурам

Тогда самый простой пример: $\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{dx}{x^2+1}}$ . Вот чему тогда равен интеграл $\int_{\G}{\frac{dz}{z^2+1}}$ (в случае когда p не стремится в бесконечность)?

yourdomain.com